Direkt zum Inhalt
Abiturprüfung

Originalprüfung 2013 Gesamtprüfung

Abitur 30 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute 2 Punkte

    Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=(2x^{2}+5x) \cdot e^{-2x}\).

  • Aufgabe 2

    1 Minute 2 Punkte

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sin(2x)\).

    Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(\pi)=7\).

  • Aufgabe 3

    1 Minute 2 Punkte

    Lösen Sie die Gleichung \(2e^{x}-\frac{4}{e^{x}}=0\).

  • Aufgabe 4

    1 Minute 4 Punkte

    Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=-x^{2}+3\) und \(g(x)=2x\).

    Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird.

  • Aufgabe 5

    1 Minute 5 Punkte

    Eine Funktion \(f\) hat folgende Eigenschaften:

    (1) \(f(2)=1\)

    (2) \(f'(2)=0\)

    (3) \(f''(4)=0\) und \(f'''(4)\neq0\)

    (4) Für \(x\longrightarrow +\infty\) und \(x\longrightarrow -\infty\) gilt \(f(x) \longrightarrow 5\).

    Beschreiben Sie für jede dieser vier Eigenschaften, welche Bedeutung sie für den Graphen von \(f\) hat. Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen.

  • Aufgabe 6

    1 Minute 4 Punkte

    Die Gerade \(g\) verläuft durch die Punkte \(A(1|-1|3)\) und \(B(2|-3|0)\). Die Ebene \(E\) wird von \(g\) orthogonal geschnitten und enthält den Punkt \(C(4|3|-8)\).

    Bestimmen Sie den Schnittpunkt \(S\) von \(g\) und \(E\). Untersuchen Sie, ob \(S\) zwischen \(A\) und \(B\) liegt.

  • Aufgabe 7

    1 Minute 4 Punkte

    Gegeben sind die beiden Ebenen:

    \(E_{1}:2x_{1}-2x_{2}+x_{3}=-1\) und

    \(E_{2}:x=\left(\begin{array}{c}7\\ 7\\ 5\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\end{array}\right)\)

    Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.

    Die Ebene \(E_3\) ist parallel zu \(E_1\) und \(E_2\) und hat von beiden Ebenen denselben Abstand. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene \(E_3\).

  • Aufgabe 8

    1 Minute 4 Punkte

    9 Spielkarten (4 Asse, 3 Könige und 2 Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch.

    1. Peter dreht 2 zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch. B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch.
    2. Die 9 Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable \(X\) gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann \(X\) annehmen? Berechnen Sie \(P(X\leq2)\).
  • Aufgabe 9

    1 Minute 3 Punkte

    Gibt es eine ganzrationale Funktion 4. Grades, deren Graph 3 Wendepunkte besitzt? Begründen Sie Ihre Antwort.

  • Aufgabe 10

    1 Minute

    Der Querschnitt eines 50 m langen Bergstollens wird beschrieben durch die \(x\)-Achse und den Graphen der Funktion \(f\) mit:

    \(f(x)=0{,}02x^{4}-0{,}82x^{2}+8; \quad -4\leq x\leq4 \) (\(x\) und \(f(x)\) in m)

  • Aufgabe 11

    1 Minute 6 Punkte

    a)

    An welchen Stellen verlaufen die Wände des Stollens am steilsten? Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Stellen mit der Horizontalen ein?

    Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser im Stollen 1,7 m hoch. Wie viel Wasser befindet sich in dem Stollen?

  • Aufgabe 12

    1 Minute 3 Punkte

    b)

    Im Stollen soll in 6 m Höhe eine Lampe aufgehängt werden. Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe mindestens 1,4 m von den Wänden entfernt sein.

    Überprüfen Sie, ob dieser Abstand eingehalten werden kann.

  • Aufgabe 13

    1 Minute 3 Punkte

    c)

    Ein würfelförmiger Behälter soll so in die Stollen gestellt werden, dass er auf einer Seitenfläche steht.

    Wie breit darf der Behälter höchstens sein?

  • Aufgabe 14

    1 Minute 3 Punkte

    Für jedes \(t\neq0\) ist eine Funktion \(f_t\) gegeben durch:\(f_{t}(x)=(x-1)\cdot \left(\begin{array}{c}1-\frac{1}{t}\cdot e^{x}\end{array}\right)\)

    Für welche Werte von \(t\) besitzt \(f_t\) mehr als eine Nullstelle?

  • Aufgabe 15

    1 Minute

    Ein zunächst leerer Wassertank einer Gärtnerei wird von Regenwasser gespeist. Nach Beginn eines Regens wird die momentane Zuflussrate des Wassers durch die Funktion \(r\) mit

    \(r(t)=10.000\cdot (e^{0{,}5t}-e^{-t});\quad 0 \leq t \leq 12\)

    beschrieben (\(t\) in Stunden seit Regenbeginn, \(r(t)\) in Liter pro Stunde).

  • Aufgabe 16

    1 Minute 4 Punkte

    a)

    Bestimmen Sie die maximale Zuflussrate. In welchem Zeitraum ist diese Zuflussrate größer als 2000 Liter pro Stunde? Zu welchem Zeitpunkt nimmt die momentane Zuflussrate am stärksten ab?

  • Aufgabe 17

    1 Minute 3 Punkte

    b)

    Wie viel Wasser befindet sich 3 Stunden nach Regenbeginn im Tank? Zu welchem Zeitpunkt sind 5.000 Liter im Tank?

  • Aufgabe 18

    1 Minute 4 Punkte

    c)

    Zur Bewässerung von Gewächshäusern wird nach 3 Stunden begonnen, Wasser aus dem Tank zu entnehmen. Daher wird die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Tank ab diesem Zeitpunkt durch die Funktion w mit

    \(w(t)=r(t)-400;\quad 3\leq t \leq 12\)

    beschrieben (t in Stunden seit Regenbeginn, \(w(t)\) in Liter pro Stunde).

    Wie viel Wasser wird in den ersten 12 Stunden nach Regenbeginn entnommen? Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Wassermenge im Tank ab? Bestimmen Sie die maximale Wassermenge im Tank.

  • Aufgabe 19

    1 Minute 4 Punkte

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\sin(\pi \cdot x)\) für \(0 \leq x \leq 1\).

    Der Graph von \(f\) begrenzt mit der \(x\)-Achse eine Fläche mit Inhalt \(A\). Berechnen Sie \(A\) exakt.

    Der Graph einer ganzrationalen Funktion \(g\) zweiten Grades schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=0\) und \(x=1\) und schließt mit der \(x\)-Achse eine Fläche ein, deren Inhalt halb so groß wie \(A\) ist.Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von \(g\).

  • Aufgabe 20

    1 Minute

    Analytische Geometrie/Stochastik, B1 Aufgabe 1

    Ein Würfel besitzt die Eckpunkte \(O(0|0|0)\), \(P(6|0|0)\), \(Q[0|0|0)\) und \(R(0|0|6)\).

    Gegeben ist außerdem die Ebene \(E:3x_{2}+x_{3}=8\).

  • Aufgabe 21

    1 Minute 5 Punkte

    a)

    Stellen Sie den Würfel und die Ebene \(E\) in einem Koordinatensystem dar. Berechnen Sie den Winkel, den die Ebene \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt. Bestimmen Sie den Abstand von \(E\) zur \(x_1\)-Achse.

  • Aufgabe 22

    1 Minute 6 Punkte

    b)

    Die Ebene \(E\) gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch:\(E_{a}:3x_{2}+x_{3}=a\ \ ;a \in \mathbb{R}\)

    Welche Lage haben die Ebenen der Schar zueinander? Für welche Werte von \(a\) hat der Punkt \(S(6|6|6)\) den Abstand \(\sqrt{10}\) von der Ebene \(E_a\)? Für welche Werte von \(a\) hat die Ebene \(E_a\) gemeinsame Punkte mit dem Würfel?

  • Aufgabe 23

    1 Minute 4 Punkte

    Bei einer Lotterie sind 10 % der Lose Gewinnlose. Jemand kauft 3 Lose.

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind darunter mindestens 2 Gewinnlose? Wie viele Lose hätte man mindestens kaufen müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Gewinnlose über 50 % liegt?

  • Aufgabe 24

    1 Minute

    Analytische Geometrie/Stochastik, B2 Aufgabe 1

    In einem würfelförmigen Ausstellungsraum mit der Kantenlänge 8 m ist ein dreieckiges Segeltuch aufgespannt. Es ist im Punkt \(F\) sowie in den Kantenmitten \(M_1\) und \(M_2\) befestigt (s. Abbildung). Es wird angenommen, dass das Segeltuch nicht durchhängt. In einem Koordinatensystem stellen die Punkte \(A(8|0|0)\), \(C(0|8|0)\) und \(H(0|0|8)\) die entsprechenden Ecken des Raumes dar.

     
  • Aufgabe 25

    1 Minute 6 Punkte

    a)

    Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene \(S\), in der das Segeltuch liegt. Zeigen Sie, dass das Segeltuch die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Segeltuchs. Welchen Abstand hat das Segeltuch von der Ecke \(E\)? (Teilergebnis: \(S:2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=24\))

  • Aufgabe 26

    1 Minute 3 Punkte

    b)

    Auf der Diagonale \(AC\) steht eine 6 m hohe Stange senkrecht auf dem Boden. Das obere Ende der Stange berührt das Segeltuch. In welchem Punkt befindet sich das untere Ende der Stange?

  • Aufgabe 27

    1 Minute

    Auf 2 Glücksrädern befinden sich jeweils 6 gleich große Felder. Bei jedem Spiel werden die Räder einmal in Drehung versetzt. Sie laufen dann unabhängig voneinander aus und bleiben so stehen, dass von jedem Rad genau ein Feld im Rahmen sichtbar ist.

    Zunächst werden die Räder als ideal angenommen.

    Bei einem Einsatz von 0,20 € sind folgende Auszahlungen vorgesehen:

    Stern – Stern  2,00 €
    Diamant – Diamant  0,85 €
    Kleeblatt – Kleeblatt  0,20 €

    In allen anderen Fällen wird nichts ausgezahlt.

  • Aufgabe 28

    1 Minute 3 Punkte

    a)

    Weisen Sie nach, dass das Spiel fair ist.

    Nun möchte der Veranstalter auf lange Sicht pro Spiel 5 Cent Gewinn erzielen. Dazu soll der Auszahlungsbetrag für „Diamant – Diamant“ geändert werden. Berechnen Sie diesen neuen Auszahlungsbetrag.

  • Aufgabe 29

    1 Minute 3 Punkte

    b)

    Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit \(p\) für „Stern – Stern“ geringer als \(\frac{1}{36}\) ist. Daher soll ein Test mit 500 Spielen durchgeführt werden. Formulieren Sie die Entscheidungsregel für die Nullhypothese \(H_{0}:p\geq \frac{1}{36}\), wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5 % betragen soll.