Abiturprüfung
Mathematik
Abitur
Abiturprüfung Analysis Wahlteil A1 2013 BW
Dauer:
45 Minuten
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Der Querschnitt eines 50 m langen Bergstollens wird beschrieben durch die \(x\)-Achse und den Graphen der Funktion \(f\) mit:
\(f(x)=0{,}02x^{4}-0{,}82x^{2}+8; \quad -4\leq x\leq4 \)
(\(x\) und \(f(x)\) in m)
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a)
An welchen Stellen verlaufen die Wände des Stollens am steilsten?
Welchen Winkel schließen die Wände an diesen Stellen mit der Horizontalen ein?
Nach einem Wassereinbruch steht das Wasser im Stollen 1,7 m hoch.
Wie viel Wasser befindet sich in dem Stollen?
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b)
Im Stollen soll in 6 m Höhe eine Lampe aufgehängt werden. Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe mindestens 1,4 m von den Wänden entfernt sein.
Überprüfen Sie, ob dieser Abstand eingehalten werden kann.
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c)
Ein würfelförmiger Behälter soll so in die Stollen gestellt werden, dass er auf einer Seitenfläche steht.
Wie breit darf der Behälter höchstens sein?
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Für jedes \(t\neq0\) ist eine Funktion \(f_t\) gegeben durch:
\(f_{t}(x)=(x-1)\cdot \left(\begin{array}{c}1-\frac{1}{t}\cdot e^{x}\end{array}\right)\)
Für welche Werte von \(t\) besitzt \(f_t\) mehr als eine Nullstelle?