Direkt zum Inhalt
Abiturprüfung

Originalprüfung 2013 Analysis Aufgabe 3, GK

Abitur 5 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=x^3 + 3x^2\)\(x \in \mathbb R\).Der Graph der Funktion \( f\) wird in der Abbildung dargestellt.

  • Aufgabe 2

    1 Minute 13 Punkte

    a)

    1. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
    2. Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f\).
  • Aufgabe 3

    1 Minute 8 Punkte

    b)

    Man betrachtet die Verschiebung, welche den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\) auf den Ursprung des Koordinatensystems abbildet.

    1. Zeigen Sie rechnerisch: Durch die genannte Verschiebung wird der Graph der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x)=x^3-3x\), \(x \in \mathbb R\), abgebildet.
    2. Begründen Sie nun, dass der Graph der Funktion \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \(W(-1|2)\) ist.
  • Aufgabe 4

    1 Minute 14 Punkte

    c)

    1. Die Graphen der Funktionen \(f\) und \(h\) schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
    2. Es sei \(p\) die Parallele zur \(x\)-Achse durch den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\). Bestimmen Sie (zum Beispiel mithilfe von b) (1)) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \(f\) und der Geraden \(p\) eingeschlossen wird.
  • Aufgabe 5

    1 Minute 15 Punkte

    d)

    Für eine beliebige positive reelle Zahl \(a\) ist die Funktion \(f_a\) mit der Gleichung \( f_a(x)=x^3 + ax^2\), \(x \in \mathbb R\), gegeben. Für \(a=3\) erhält man z. B. die zuvor betrachtete Funktion \(f\).

    1. Es sei \(w_a\) die Tangente im Wendepunkt \(W_a\) der Funktion \(f_a\). Ermitteln Sie eine Gleichung von \(w_a\) in Abhängigkeit von \( a\). [Zur Kontrolle: \(\: w_a(x)= -\frac{1}{3}a^2x-\frac{1}{27}a^3\), \(x \in \mathbb R \)]
    2. Die Tangente \(w_a\) schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von \(a\).