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Aufgabe 1
Dauer: 31 Minuten 13 Punktea)
- Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
- Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f\).
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Aufgabe 2
Dauer: 19 Minuten 8 Punkteb)
Man betrachtet die Verschiebung, welche den Wendepunkt \(W(-1|2)\) der Funktion \(f\) auf den Ursprung des Koordinatensystems abbildet.
- Zeigen Sie rechnerisch: Durch die genannte Verschiebung wird der Graph der Funktion \(f\) auf den Graphen der Funktion \(h\) mit der Gleichung \(h(x)=x^3-3x\), \(x \in \mathbb R\), abgebildet.
- Begründen Sie nun, dass der Graph der Funktion \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \(W(-1|2)\) ist.
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Aufgabe 3
Dauer: 34 Minuten 14 Punktec)
- Die Graphen der Funktionen und schließen eine Fläche ein. Berechnen Sie deren Inhalt.
- Es sei die Parallele zur -Achse durch den Wendepunkt der Funktion .
Bestimmen Sie (zum Beispiel mithilfe von b) (1)) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion und der Geraden eingeschlossen wird.
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Aufgabe 4
Dauer: 36 Minuten 15 Punkted)
Für eine beliebige positive reelle Zahl ist die Funktion mit der Gleichung , , gegeben. Für erhält man z. B. die zuvor betrachtete Funktion .
- Es sei die Tangente im Wendepunkt der Funktion . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Abhängigkeit von .
[Zur Kontrolle: , ] - Die Tangente schließt im III. Quadranten eine Fläche mit den Koordinatenachsen ein.
Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von .
- Es sei die Tangente im Wendepunkt der Funktion . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Abhängigkeit von .
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(x)=x^3 + 3x^2\), \(x \in \mathbb R\).
Der Graph der Funktion \( f\) wird in der Abbildung dargestellt.
Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.
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Aufgabe 1
a)
- Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
- Berechnen Sie die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte der Funktion \( f\).