Direkt zum Inhalt
Abiturprüfung

Originalprüfung 2012 Lineare Algebra / Analytische Geometrie Aufgabe 6, GK

Abitur 5 Minuten
  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Ein Reisebüro pflegt eine Datei mit Adressen von 4400 langjährigen Stammkunden, die ihren Urlaub über dieses Reisebüro buchen. Zum Ende eines jeden Jahres untersucht die Geschäftsleitung das Buchungsverhalten der Kunden im Hinblick auf die Anzahl der Urlaube, die die Kunden im abgelaufenen Jahr bei dem Reisebüro gebucht haben.

    Dabei wird unterschieden zwischen den Kunden, die im abgelaufenen Jahr genau einen Urlaub bei dem Reisebüro gebucht haben (Kundengruppe E), Kunden, die im abgelaufenen Jahr mehr als einen Urlaub bei dem Reisebüro gebucht haben (Kundengruppe M), und Kunden, die im abgelaufenen Jahr keinen Urlaub bei dem Reisebüro gebucht haben (Kundengruppe K).Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass sich die Stammkundschaft mit der Zeit nicht ändert.

  • Aufgabe 2

    1 Minute 12 Punkte

    a)

    Die Geschäftsleitung hat festgestellt, dass das Buchungsverhalten der Stammkunden während eines Jahres vom Buchungsverhalten im vorangegangenen Jahr abhängt. So wurde in früheren Jahren von folgendem Buchungsverhalten der Stammkunden bei dem Reisebüro ausgegangen:

    • Von den Kunden der Gruppe E eines Jahres buchen im folgenden Jahr 75 % ebenfalls genau einen Urlaub; 10 % der Gruppe buchen mehr als einen Urlaub und 15 % keinen Urlaub.
    • Von den Kunden, die in einem Jahr mehr als einen Urlaub gebucht haben, buchen 60 % im Folgejahr ebenfalls mehr als einen Urlaub, 20 % buchen genau einen Urlaub und 20 % buchen keinen Urlaub.
    • 57 % der Kunden der Gruppe K buchen bei dem Reisebüro im nächsten Jahr genau einen Urlaub, 28 % sogar mehr als einen Urlaub, während 15 % auch im Folgejahr keinen Urlaub bei dem Reisebüro buchen.

    Stellen Sie dieses Buchungsverhalten durch ein Übergangsdiagramm dar und bestimmen Sie eine Übergangsmatrix, die dieses Verhalten beschreibt.

  • Aufgabe 3

    1 Minute 16 Punkte

    b)

    Aufgrund einer Änderung des Urlaubsverhaltens gilt aktuell die folgende Übergangsmatrix \(\mathbf{A}\):

    1. Geben Sie drei Änderungen im Buchungsverhalten an, die gegenüber den früheren Jahren erkennbar sind.

    Im Jahr 2011 buchten 2624 Kunden genau einen Urlaub, 1206 Kunden buchten mehr als einen Urlaub, während 570 Kunden keine Buchung bei dem Reisebüro durchführten.

    1. Bestimmen Sie unter den Übergangsbedingungen, die durch die Matrix \(\mathbf{A}\) gegeben sind, die zu erwartende Verteilung für das Jahr 2012.
    2. Bestimmen Sie unter den Übergangsbedingungen, die durch die Matrix \(\mathbf{A}\) gegeben sind, die Verteilung für das Jahr 2010.
  • Aufgabe 4

    1 Minute 11 Punkte

    c)

    Die Geschäftsleitung strebt aus Gründen der Planungssicherheit an, dass die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K von Jahr zu Jahr gleich bleibt.

    Zeigen Sie durch Berechnung, dass es bei dem durch die Matrix \(\mathbf{A}\)   beschriebenen Buchungsverhalten eine Verteilung der Kunden des Reisebüros auf die Gruppen E, M und K so gibt, dass die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K von Jahr zu Jahr gleich bleibt.

  • Aufgabe 5

    1 Minute 11 Punkte

    d)

    Durch gezielte Werbemaßnahmen wird während des Jahres 2012 das Buchungsverhalten der Kunden der Gruppe K so beeinflusst, dass von diesem Jahr an jeweils gegenüber dem vorangegangenen Jahr nur noch 5 % der Kunden der Gruppe K keinen Urlaub buchen.

    Dabei wird das Buchungsverhalten der Kunden der beiden anderen Kundengruppen E und M nicht beeinflusst. Es wird weiterhin von einer konstanten Anzahl von Stammkunden ausgegangen.

    1. Erklären Sie, dass das Buchungsverhalten dann durch eine Matrix\(\begin{align*}\mathbf{B}=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}2&q\\0{,}1&0{,}6&0{,}95-q\\0{,}1&0{,}2&0{,}05\end{pmatrix}\end{align*}\)  mit \(0 \leq q \le 0,95\) beschrieben werden kann.
    1. Gehen Sie von den in Teilaufgabe b) für das Jahr 2011 angegebenen Buchungen aus und ermitteln Sie den Wert von \(q\) für den Fall, dass sich am Ende des Jahres 2012 herausstellt, dass 2699 Kunden im Jahr 2012 genau einen Urlaub gebucht haben.