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Abiturprüfung

Analytische Geometrie, erweitertes Anforderungsniveau, 1. Aufgabe

Abitur 5 Minuten

Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums.

  • Aufgabe 1

    1 Minute

    Ein Blatt DIN-A4-Papier liegt in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene. Gegeben sind seine Eckpunkte \(O \left( 0 | 0 | 0 \right)\), \(A \left( \sqrt 2 | 0 | 0 \right)\)\(B \left( \sqrt 2 | 1 | 0 \right)\) und \(C \left( 0 | 1 | 0 \right) \) sowie der Punkt \(D \left( 1 | 1 | 0 \right)\). (Als Längeneinheit (LE) wird die Länge der kürzeren Seite des DIN-A4-Blattes verwendet.)

    Das Blatt wird jetzt entlang der Strecke \(\overline{OD}\) gefaltet. Das Dreieck \(ODC\) bleibt dabei fest, während das Viereck \(OABD\) in das Viereck \(OA'B'D\) übergeht, das wieder in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene liegt. Die Gegebenheiten sind in den folgenden Schrägbildern dargestellt. Zur Veranschaulichung kann das als Seite 4 beigefügte DIN-A4-Blatt entsprechend gefaltet werden.

    a)

    Bestimmen Sie den Abstand des Punktes \(B\) von der Geraden \(OD\).

  • Aufgabe 2

    1 Minute 8 Punkte

    b)

    1. Leiten Sie je eine Gleichung dieser Ebene \(E\) in Parameterform und in Normalenform her. 
      [Zur Kontrolle eine Koordinatengleichung: \(E: x_1+x_2 = \sqrt 2\)]
    2. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \(S\) der Ebene \(E\) mit der Geraden \(OD\).
      [Zur Kontrolle: \(S \left( \frac 1 2 \sqrt 2 \middle| \frac 1 2 \sqrt 2 \middle| 0 \right)\)]
  • Aufgabe 3

    1 Minute 11 Punkte

    c)

    Während des Faltvorgangs liegt das beim Falten bewegte Papierviereck stets in einer Ebene \(E_k\) der durch \( E_k: x_y - x_2 + k \cdot x_3 = 0\), \(k \in \mathbb R\), gegebenen Ebenenschar. Vorher und nachher liegt es jeweils in der \(x_1\)\(x_2\)-Ebene (siehe Abbildungen 1 bis 4).

    1. Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gerade \(OD\) in jeder Ebene \(E_k\) der Ebenenschar liegt.
    2. Begründen Sie, dass die Ebene \(E\) aus b) senkrecht zu jeder Ebene \(E_k\), \(k \in \mathbb R\), ist. 

    Während des Faltvorgangs wird das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks \(OA^*B^*D\) gebracht, das in einer sowohl zur \(x_1\)\(x_2\)-Ebene als auch zur Ebene \(E\) senkrechten Ebene \(E^*\) liegt (siehe Abbildung 3).

    1. Berechnen Sie den Wert des Parameters \(k\), für den \(E_k=E^*\) ist.
    2. Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes \(A^*\).

     

  • Aufgabe 4

    1 Minute 18 Punkte

    d)

    Während des Faltvorgangs kommt das beim Falten bewegte Papierviereck auch in die Position des Vierecks , dessen Punkt  in der Ebene  liegt. 

    1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes .
      [Zur Kontrolle: ]
    2. Zeigen Sie, dass das Dreieck  gleichschenklig rechtwinklig ist.