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Dezimalbrüche | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Mit Brüchen und Dezimalzahlen gleichzeitig rechnen zu müssen, wirkt auf den ersten Blick immer kompliziert. Sich nur auf Bruchrechnung oder Dezimalzahlen zu konzentrieren, ist häufig einfacher. Dafür musst du jedoch vorher wissen, wie die beiden umgewandelt werden können. Die Rechnung dafür besteht im Allgemeinen aus zwei Schritten. 

Dezimalbrüche können dir dabei eine große Hilfe sein. Sie sind Brüche, die eine Zehnerpotenz im Nenner haben und somit leicht als Dezimalzahl geschrieben werden können. Lass dich von dem Begriff des Dezimalbruchs aber nicht verwirren, denn manchmal wird er auch als Synonym für eine Dezimalzahl verwendet.  

In den Lernwegen kannst du viele Aufgaben zur Umwandlung von Dezimalzahlen und Brüchen rechnen und damit dein Wissen testen. Abschließend kannst du dich dann mithilfe der Klassenarbeiten auf zukünftige Tests in der Schule vorbereiten.

Brüche und Dezimalbrüche – Klassenarbeiten

Wie benutzt man Dezimalbrüche?

Dezimalbrüche, wie zum Beispiel \(\frac{2}{100}\), spielen bei der Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen oder auch andersherum ein große Rolle. Die Umwandlung funktioniert auch ohne sie, doch sie erleichtern dir die Rechnung. Egal in welche Richtung die Umwandlung stattfindet, sie folgt immer einem bestimmten Ablauf. 

Umwandlung von Brüchen in Dezimalzahlen

Hast du einen Bruch vor dir und sollst diesen als Dezimalzahl schreiben, musst du dir genau zwei Schritte merken.

  1. Wandle den Bruch in einen Dezimalbruch um.
  2. Stelle die Dezimalzahl anhand des Dezimalbruchs auf.

Um einen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln, musst du wissen, wie Brüche erweitert oder gekürzt werden. Sobald dein Bruch eine Zehnerpotenz im Nenner hat, hast du einen Dezimalbruch vor dir. Dieser gibt dir alle nötigen Informationen, um eine Dezimalzahl daraus zu machen. Die Anzahl der Nullen im Nenner bestimmt dabei die Anzahl der Nachkommastellen deiner Dezimalzahl. Weißt du, wie viele Nachkommastellen du benötigst, füllst du diese anschließend mit dem Zähler des Bruchs aus. 

Fertig ist die Dezimalzahl!

Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche

Die Umwandlung einer Dezimalzahl, die endlich viele Nachkommastellen besitzt, ist im Allgemeinen nicht schwer. Um diese Art von Dezimalzahlen in Brüche umzuwandeln, folgst du quasi dem gegensätzlichen Ablauf wie zuvor:

  1. Schreibe die Dezimalzahl als Dezimalbruch.
  2. Kürze bzw. erweitere den Dezimalbruch auf den gewünschten Bruch.

Der Nenner des Dezimalbruchs wird erneut über die Nachkommastellen bestimmt. Der passende Zähler ergibt sich dann aus den Zahlen der Dezimalzahl ohne Komma. Der entstandene Dezimalbruch kann anschließend wie gewünscht erweitert oder gekürzt werden.

An dieser Stelle der Hinweis: Kürze Brüche immer soweit wie möglich!

Kann man alle Brüche in Dezimalzahlen umwandeln?

Manchmal lässt sich durch Erweitern nicht sofort ein passender Dezimalbruch finden. Du kannst dir aber trotzdem sicher sein, dass du jeden Bruch als Dezimalzahl darstellen kannst!

Hast du eine Dezimalzahl vor dir, ist es nicht ganz so einfach. Es gibt Fälle bei denen die Umwandlung der beiden Formen erschwert wird. Dazu gehören beispielsweise die periodischen Dezimalzahlen.

Wie wandelt man periodische Dezimalzahlen in Brüche um? 

Periodische Dezimalzahlen stellen eine Besonderheit bei der Umwandlung in Brüche dar. Lass dich davon aber nicht verwirren, denn sie gehören trotzdem zu den rationalen Zahlen und können somit in Brüche umgewandelt werden. 

Du musst bei periodischen Dezimalzahlen zwischen dem periodischen und dem nicht periodischen Teil unterscheiden. Beide Teile werden verschieden behandelt. Merke dir folgende Beziehung:

\(0{,}\overline{1}\,=\,\frac{1}{9}\)

Sie wird dir beim Umrechnen des periodischen Teils helfen.

Im Gegensatz zur Umwandlung von nicht periodischen Dezimalzahlen in Brüche, kommt es hier nun darauf an, korrekt zu erweitern und die Rechenregeln der Bruchrechnung anzuwenden. 

Das bedeutet, du solltest zum Beispiel wissen, wie Brüche addiert werden.

Kann man nicht rationale Zahlen in Brüche umwandeln? 

Du weißt bestimmt, dass Brüche und Dezimalzahlen zu der Menge der rationalen Zahlen gehören. Daher können beide problemlos ineinander umgewandelt werden. Doch was ist mit den irrationalen Zahlen? Sie sind eine weitere Ausnahme, die du dir merken solltest. 

Näherungsweise sind irrationale Zahlen als Dezimalzahl darstellbar, wie zum Beispiel die Kreiszahl Pi: \(\pi\,\approx\,3{,}14\). Ihre besondere Eigenschaft ist jedoch, dass sie sich nicht als Bruch schreiben lassen. Das bedeutet, du kannst auch keinen Dezimalbruch aufstellen. 

Merke dir also: Irrationale Zahlen lassen sich niemals als Bruch schreiben!

Wie ordnet man Brüche und Dezimalzahlen?

Brüche über Dezimalbrüche in Dezimalzahlen umzuwandeln oder andersherum hat neben der Vereinfachung von Rechnungen noch einen weiteren Vorteil. Hast du dieselbe Form vor dir, kannst du nämlich die rationalen Zahlen der Größe nach ordnen. 

Schau dir einmal die folgenden drei Möglichkeiten an:

  • \(\frac{3}{4}\,<\,0{,}8\)
  • \(0{,}75\,<\,0{,}8\)
  • \(\frac{15}{20}\,<\,\frac{16}{20}\)

Bei dem mittleren und dem unteren Verhältnis kannst du sofort sehen, dass es richtig ist. Brüche oder Dezimalzahlen untereinander zu vergleichen, ist also recht einfach. Hast du jedoch eine Dezimalzahl und einen Bruch vor dir, ist nicht so leicht zu sagen, welche Zahl größer ist.

Wird dir im Unterricht die Aufgabe gestellt, rationale Zahlen zu ordnen, solltest du die Zahlen einheitlich in Brüche oder Dezimalzahlen umwandeln. Natürlich hilft es wieder, Dezimalbrüche dabei zu verwenden.