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Bruchgleichungen | Aufgaben und Übungen

Klassenstufe:

Aufgaben und Übungen zu Bruchgleichungen sehen auf den ersten Blick ganz schön kompliziert aus: so viele Brüche und dann auch noch Variablen im Nenner! Wie soll man nur das x aus dem Nenner bekommen und diese langen Bruchgleichungen lösen?

Keine Panik! Wir haben die Antworten für dich! Hier lernst du, wie du Bruchgleichungen lösen kannst und alles, was du sonst noch zu Brüchen, Definitionsmengen und Hauptnennern wissen musst!

In den Lernwegen findest du die Erklärungen und passende Übungen. In den Klassenarbeiten kannst du dein Wissen testen. 

Bruchgleichungen – Klassenarbeiten

Wie erkennt man eine Bruchgleichung?

Eine Bruchgleichung ist eine besondere Form der Gleichung. Du erkennst sie anhand dieser beiden Merkmale:

  • Die Gleichung enthält einen oder mehrere Brüche.
  • Bei mindestens einem dieser Brüche kommt im Nenner eine Variable vor.

Ein Term, bei der eine Variable im Nenner steht, wird auch Bruchterm genannt. Eine einfache Bruchgleichung sieht zum Beispiel so aus:

\(\frac{1}{2+\color{red}{x}} = \frac{12+x}{4\color{red}{x} -1}\)

Im Gegensatz zu einer Bruchgleichung hat eine normale Gleichung kein x im Nenner.

Was muss man bei der Definitionsmenge einer Bruchgleichung beachten?

Bei Bruchgleichungen musst du bei der Definitionsmenge besonders aufpassen! Weil die Variablen bei diesen Gleichungen auch in den Nennern von Brüchen vorkommen, musst du sicherstellen, dass keiner dieser Nenner null wird! Denn das ist in einem Bruch nicht erlaubt.

Alle Zahlenwerte einer Variable, für die ein Nenner in der Bruchgleichung zu null werden würde, sind deshalb von der Definitionsmenge ausgeschlossen.

Wie löst man eine Bruchgleichung?

Die wichtigste Frage ist natürlich, wie du Bruchgleichungen lösen kannst! Dafür hältst du dich am besten an diese vier Schritte:

  1. Bestimme die Definitionsmenge. 
  2. Faktorisiere die Nenner und finde den Hauptnenner.
  3. Multipliziere die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner und kürze alle Brüche.
  4. Löse die normale Gleichung.

Mit den ersten drei Schritten wandelst du die Bruchgleichung in eine normale Gleichung um. Die kannst du dann im vierten Schritt auf gewohnte Weise lösen.

Auf was du bei den einzelnen Schritten genau achten musst, findest du bei den Erklärungen zu Gleichungen mit der Variablen im Nenner. Dort wird auch erläutert, wie du den Hauptnenner bei Bruchgleichungen findest.

Wie stellt man Bruchgleichungen aus Textaufgaben auf?

Bei Textaufgaben, in denen du eine Bruchgleichung aufstellen und dann lösen musst, geht es um eine Größe, die du als Bruch darstellen kannst. Diese Größe ist oft eine Geschwindigkeit (Weg pro Zeit) oder auch eine Leistung (Arbeit pro Zeit). Aber wie kannst du aus dem Text eine Bruchgleichung herleiten? Dafür ist es geschickt, dieses Vorgehen zu benutzen:

  1. Lies den Text genau und lege die gesuchte Variable fest.
  2. Stelle die einzelnen Brüche mit der gesuchten Variable im Nenner auf.
  3. Formuliere aus diesen Brüchen und den Angaben im Text eine Bruchgleichung.

Du fühlst dich noch nicht ganz sicher mit Textaufgaben zu Bruchgleichungen? Du möchtest Übung im Aufstellen und Lösen von Bruchgleichungen bekommen? Dann schaue doch mal in unsere interaktiven Online-Übungen und unsere Klassenarbeiten mit Musterlösungen für Klasse 8 und 9 zu diesem Thema!