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Binomialverteilung | Aufgaben und Übungen

Die Binomialverteilung ist eines der wichtigsten Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das Thema bekommt besondere Relevanz in der 10.–13. Klasse. Häufig tauchen Aufgaben zur Binomialverteilung in Form von Textaufgaben auf. 

Um gut in das Thema zu kommen, solltest du dich in den Themen Baumdiagramme, Vierfeldertafel und Wahrscheinlichkeit berechnen auskennen. Passende Übungsaufgaben findest du in den unten aufgeführten Lernwegen. 

Besonders gut vorbereitet bist du auf Arbeiten oder Klausuren, wenn du vorher eine Generalprobe machst und eine unserer Klassenarbeiten bearbeitest. Dafür haben wir für dich zum Thema Binomialverteilung Aufgaben als Arbeitsblätter mit der entsprechenden Lösung, zum Beispiel zum Thema „Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung“. Die Aufgabenblätter sind so aufgebaut wie die Klassenarbeiten in der Schule.

Binomialverteilung – Lernwege

Binomialverteilung – Klassenarbeiten

Welche Aufgaben und Übungen gibt es zur Binomialverteilung?

Wie in jedem Themenbereich gibt es auch bei der Binomialverteilung typische Aufgaben, die immer wieder in leicht abgeänderter Form vorkommen. Meistens musst du Einzelwahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte berechnen. Wichtig ist es zu wissen, was eine Bernoulli-Kette ist und wie der Binomialkoeffizient berechnet wird.

Wie löst man Aufgaben zur Binomialverteilung erfolgreich?

Wie in jedem mathematischen Themengebiet kannst du dich an Schrittfolgen halten, die dir beim Lösen typischer Aufgaben helfen. Beim Thema Binomialverteilung ist eine typische Aufgabe, die Parameter einer Binomialverteilung bei einer Bernoulli-Kette zu berechnen. Entweder du bekommst einen Zufallsversuch mit bestimmten vorgegebenen Werten oder es geht um eine Textaufgabe. Die Binomialverteilung ist also die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Treffer bei einer Bernoulli-Kette.

Wie bestimmst du den Binomialkoeffizienten?

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Binomialkoeffizienten lautet:

\(\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n\ -\ k)!} = \frac{n(n\ -\ 1)(n\ -\ 2)\ …\ (n\ -\ k\ +\ 1)}{k!}\)

Dieser Ausdruck \(\binom{n}{k}\) wird „\(n\) über \(k\)“ gesprochen. Dir ist bestimmt das Ausrufezeichen aufgefallen. Das ist das Zeichen der Fakultätsfunktion.

Wie berechnet man den Erwartungswert?

Das Wort Erwartungswert gibt dir eigentlich schon an, was dieser Wert aussagt. Der Erwartungswert gibt den Wert an, der erwartet wird, wenn ein Zufallsversuch sehr oft durchgeführt wird. Der Erwartungswert ist das Produkt aus der Anzahl der Durchführung und der Einzelwahrscheinlichkeit.

Der Erwartungswert für die Binomialverteilung lässt sich sehr leicht berechnen:

\(E=np\)

Wie berechnet man die Einzelwahrscheinlichkeit?

Um die Einzelwahrscheinlichkeiten zu berechnen, benötigst du die allgemeine Formel der Binomialverteilung. Se lautet:

\(P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n\ -\ k}\)

Im Gegensatz zum Erwartungswert ist diese Formel ein wenig komplexer. Um die Einzelwahrscheinlichkeit zu berechnen, kannst du folgende Schrittfolge einhalten:

  1. Bestimme \(n\)\(p\) und \(k\).
  2. Setz die Werte in die Formel ein.
  3. Berechne die Einzelwahrscheinlichkeit.

Wie unterscheidet sich die Binomialverteilung von anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen?

In der Schule lernst du vielleicht auch den Fall der Normalverteilung kennen. Der Erwartungswert ist für beide Verteilungen gleichermaßen zu ermitteln, da die Binomialverteilung in die Normalverteilung übergeht, wenn die Anzahl der Versuche hoch genug ist. Allerdings ist die Binomialverteilung diskret, während die Normalverteilung kontinuierlich ist.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Graphen der Binomialverteilung und der Normalverteilung sind dementsprechend verschieden. Die grafische Darstellung der Binomialverteilung geschieht mithilfe von Balken. Hier sind nur ganzzahlige Werte möglich. Die Normalverteilung gleicht hingegen einer Funktion, in die du jeden Wert einsetzen kannst.

In manchen Schulen lernst du auch etwas über die hypergeometrische Verteilung. Der Unterschied zur Binomialverteilung ist, dass bei der hypergeometrischen Verteilung die Stichproben nicht zur Grundmenge zurückgegeben werden.