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Binomialverteilung einfach erklärt

Klasse 10

Was ist die Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse für eine Bernoulli-Kette. In einer Bernoulli-Kette wird ein Experiment, das entweder nur „Treffer“ oder „Niete“ zum Ergebnis hat (das sogenannte Bernoulli-Experiment), n-mal durchgeführt.

Wenn dir das jetzt zu theoretisch war, findest du hier alles, was du zur Binomialverteilung wissen musst, mit anschaulichen Erklärvideos und interaktiven Übungen. Ist das für dich ein alter Hut, kannst du dein Wissen in den Klassenarbeiten testen.

Was ist der Zusammenhang von Binomialverteilung und Bernoulli-Kette?

Um den Zusammenhang zu verstehen, solltest du zuerst die Grundlagen kennen.

Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Versuch mit zwei Ergebnissen, Treffer und Niete, die jeweils eine bestimmte Wahrscheinlichkeit haben:

  • Treffer \(=X, P(X)=p\)
  • Niete \(= \overline X, P(\overline X)= 1-p=q\)

Bernoulli-Kette

In einer Bernoulli-Kette wird das Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt. Da die Anzahl der Wiederholungen unterschiedlich sein kann, benutzt man die Variable \(n\), die jede natürliche Zahl sein kann. Die Anzahl der Treffer, die in dieser Bernoulli-Kette vorkommen, wird mit der Variable k bezeichnet. 

Binomialkoeffizient

Jetzt gibt es aber noch das Problem, in welcher Reihenfolge die Treffer und Nieten angeordnet sind. Das ist bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung meistens egal und so wird das Problem auf die Kombinatorik reduziert und du musst nur ausrechnen, wie viele mögliche Anordnungen für die Anzahl von Treffern und Nieten gibt es. Das kannst du mit dem Binomialkoeffizient berechnen:

\(\binom nk=\frac{n!}{(n-k)!\; k!}\)

Ausgesprochen wird das als „\(n\) über \(k\)“.

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung beschreibt, wie wahrscheinlich es ist, in einer Bernoulli-Kette verschiedene Anzahlen von Treffern zu bekommen. Die Wahrscheinlichkeit für \(k\) Treffer lässt sich mit dieser Formel berechnen:

\(P(X=k)=\binom nk p^k\cdot(1-p)^{n-k}\)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) ist die Binomialverteilung. Man nennt \(X\) eine binomialverteilte Zufallsgröße.

Kumulierte Binomialverteilung

Die kumulierte Binomialverteilung bezeichnet man auch als summierte Wahrscheinlichkeitsverteilung (Summenverteilung). Die kumulierte Binomialverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette höchstens \(k\) Treffer erzielt werden. Dies entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten für 0, 1, ..., \(k\) Treffer.

Wie stellt man Binomialverteilungen grafisch da?

Wenn du verstanden hast, was eine Binomialverteilung ist, stellen die Graphen von Binomialverteilungen  auch kein Hindernis mehr dar.

Hier werden die Wahrscheinlichkeiten für \(k\) Treffer auf der y-Achse und die Anzahl der Treffer auf der x-Achse dargestellt. Je nachdem, wie hoch der Wert \(p\) für die Wahrscheinlichkeit eines Treffers ist, sieht die Kurve unterschiedlich aus.

Du kannst auch den Erwartungswert und Einzelwahrscheinlichkeiten aus den Graphen ablesen.

  • Erwartungswert:
    Wie viele Treffer \(k\) sind bei \(n\) Durchführungen des Experiments zu erwarten?
  • Einzelwahrscheinlichkeit:
    Wie wahrscheinlich ist es, bei \(n\) Durchführungen genau \(k\) Treffer zu haben?
Binomialverteilungen für  0,2  und 0,7

 

    Was ist der Unterschied zwischen einer Normalverteilung und einer Binomialverteilung?

    Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Normalverteilung ist im Gegensatz dazu eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Das heißt, die Ergebnisse einer Normalverteilung sind nicht abzählbar.

    Ein Beispiel für ein diskretes Zufallsexperiment ist Würfeln. Dabei hast du die abzählbaren Ergebnisse \(1,\ 2,\ \dots,\ 6\). Beim Messen der Körpergröße von Freunden können hingegen beliebige Werte zwischen ungefähr \(1{,}5\,\text{m}\) und \(2{,}0\,\text{m}\) auftreten – also auch Werte wie \(1{,}72\,\text{m}\).

    Den Unterschied zwischen der Binomialverteilung und der Normalverteilung erkennst du auch gut, wenn du die Graphen betrachtest. Die Binomialverteilung wird als Histogramm dargestellt, also mit vielen Balken. Der Graph der Normalverteilung ist eine durchgehende Kurve.

    Für große \(n\) werden die Balken immer mehr und sie werden sehr schmal. Die Binomialverteilung nähert sich dabei an die Normalverteilung an.

    Wozu braucht man die Binomialverteilung?

    Mit der Binomialverteilung kann man beispielsweise die Wahrscheinlichkeiten bei Glücksspielen ausrechnen. So kannst du auch beurteilen, ob ein Spiel fair ist. Auch bei der Qualitätskontrolle kann man die Binomialverteilung anwenden. So lässt sich über die Untersuchung von Stichproben beurteilen, ob die gesamte Menge der versprochenen Qualität genügt.