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Ableitung und Ableitungsfunktion | Aufgaben und Übungen

In den späteren Klassenstufen werden dir viele Aufgaben zu Ableitung und Ableitungsfunktion begegnen. Zunächst wirst du das Ableiten üben müssen. Später werden Funktionen mithilfe von Ableitungen auf ihre Eigenschaften untersucht.

Um einen guten Einstieg in das Thema zu finden, solltest du wissen, wie man mit Funktionen umgeht. Du solltest Funktionen zeichnen, Wertetabellen aufstellen und Äquivalenzumformungen durchführen können.

In den folgenden Lernwegen findest du Informationen, wie du die Ableitungsfunktion bestimmst, welche Ableitungsregeln es gibt und wie du die Ableitungsfunktion grafisch darstellen kannst. Wenn du dich bereit fühlst, kannst du dein Wissen mit unseren Klassenarbeiten prüfen.

Ableitung und Ableitungsfunktion – Lernwege

Ableitung und Ableitungsfunktion – Klassenarbeiten

Wie bestimmt man Ableitungsfunktionen?

Ableitungsfunktionen kannst du auf verschiedene Arten bestimmen. Du kannst die Ableitungsfunktion grafisch bestimmen. Für das grafische Lösen kannst du die Funktion in ein Koordinatensystem zeichnen und dir die wichtigsten Punkte ansehen (Extrempunkte, Nullstellen etc.). Bei speziellen Funktionen, z. B. bei der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion, wird das allerdings schwieriger und ungenauer. Um also die Ableitungsfunktion exakt zu bestimmen, ist eine analytische Lösung durch Ableitungsregeln sinnvoller.

Welche Ableitungsregeln gibt es?

Um eine Ableitung zu berechnen, gibt es ein paar Ableitungsregeln. Je nachdem wie die Funktion aufgebaut ist, wirst du andere Regeln benötigen. Hier sind ein paar Beispiele: 

  • Potenzregel
  • Summenregel
  • Produktregel
  • Kettenregel

Diese Regeln sind essenziell für den Erfolg bei der Bildung der Ableitung. Beginne damit, die Potenzregeln zu festigen, und taste dich dann an die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel heran.

Welche Aufgaben gibt es zu Ableitungen und Ableitungsfunktionen?

Ableitungen und Ableitungsfunktionen wirst du für deine Abiturprüfung benötigen. Wie du die Grundrechenarten auch bei komplexen Aufgaben benötigst, so bilden Ableitungen eine grundlegende Rechenart für noch komplexere Aufgaben. Ableitungen können bei Kurvendiskussionen und bei der Bestimmung von Tangentengleichungen angewandt werden. Ferner kann es auch vorkommen, dass du die Ableitungsfunktion grafisch bestimmen sollst. Das ist insbesondere für Skizzen nützlich.

Wie kann man eine Ableitungsfunktion graphisch bestimmen?

Um die Ableitungsfunktion grafisch darstellen zu können, gibt es ein paar wichtige Hilfen, die dich dabei unterstützen, die Ableitungsfunktion sauber und in wenigen Schritten zu zeichnen. Hier findest du zwei Regeln, die dir das grundlegende Gerüst dazu vorgeben: 

  • Die Extremstellen von \(f(x)\) sind die Nullstellen von \(f'(x)\).
  • Die Wendestellen von \(f(x)\) sind die Extremstellen von \(f'(x)\).

Da du nun die wichtigsten Regeln kennst, folgt die Schrittfolge, die dich zum Ziel bringt.

  1. Markiere alle wichtigen Punkte auf der Funktion \(f(x)\) (Nullstellen, Extremstellen). 
  2. Zeichne die Ableitungsfunktion durch die zuvor bestimmten Punkte. 

Welche Funktionen haben besondere Ableitungsregeln?

Wenn es um rationale Funktionen geht, kannst du die genannten Ableitungsregeln ohne Weiteres anwenden. Jedoch gibt es Funktionen, bei denen du einiges bei der Ableitung beachten muss. Hier sind ein paar Beispiele für Funktionen, die besondere Aufmerksamkeit benötigen: 

  • Exponentialfunktion
  • Sinusfunktion
  • Logarithmusfunktion

Die Sinusfunktion scheint auf den ersten Blick nicht ableitbar zu sein. Wenn du jedoch die Sinusfunktion zeichnest und durch die bekannten Schritte die Ableitungsfunktion grafisch darstellst, dann erkennst du, dass die Kosinusfunktion die Ableitung von der Sinusfunktion ist. Das ist nicht die einzige Ableitung von speziellen Funktionen, die dir begegnen kann. Häufig werden diese Funktionsarten in den Abiturprüfungen benötigt.