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Lexikon Mathe

Zwischenwertsatz und Nullstellensatz

Der Zwischenwertsatz und sein Spezialfall, der Nullstellensatz, sind zwei Sätze über stetige Funktionen. Der Zwischenwertsatz besagt im Wesentlichen, dass eine Funktion keine Werte „auslässt“. Formal lautet er:

  • Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [ab] stetig ist, dann gibt es für jeden Wert y0 zwischen den Funktionswerten der Intervallgrenzen, f(a) und f(b), mindestens ein \(x_0 \in [a; b]\), dessen Funktionswert genau y0 ist: f(x0) =y0.

Das bedeutet:

  1. Die Zahl y0 ist ein Funktionswert von f.
  2. 2. Die horizontale Gerade yy0 schneidet den Graphen Gf.

 

Ein Sonderfall des Zwischenwertsatzes ist der Nullstellensatz:

  • Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [ab] stetig ist und die Funktionswerte an den Intervallgrenzenf(a) und f(b), unterschiedliche Vorzeichen haben, dann hat f in [ab] mindestens eine Nullstelle.

Der Graph Gf schneidet in einem solchen Fall die x-Achse im Intervall [ab] mindestens einmal.

Beispiel:
Die Funktion f mit \(f (x) = x^5 - 1\) ist stetig im Intervall [0; 3] und es sind f(0) = –1 < 0 und f(3) = 242 > 0.  \(f (0) = - 1 < 0, f (3) = 242 > 0\).
Also hat f mindestens eine Nullstelle im Intervall [0; 3].

Anmerkung: Man kann durch Addition oder Subtraktion einer Konstante immer erreichen, dass die Funktionswerte an den Intervallgrenzen unterschiedliche Vorzeichen haben.

Zwischenwertsatz und Nullstellensatz - Abbildung 1

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