Zwischenwertsatz und Nullstellensatz

Der Zwischenwertsatz und sein Spezialfall, der Nullstellensatz, sind zwei Sätze über stetige Funktionen. Der Zwischenwertsatz besagt im Wesentlichen, dass eine Funktion keine Werte „auslässt“. Formal lautet er:

• Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig ist, dann gibt es für jeden Wert y₀ zwischen den Funktionswerten der Intervallgrenzen, f(a) und f(b), mindestens ein \(x_0 \in [a; b]\), dessen Funktionswert genau y₀ ist: f(x₀) =y₀.

Das bedeutet:

1. Die Zahl y₀ ist ein Funktionswert von f.
2. 2. Die horizontale Gerade y = y₀ schneidet den Graphen G_f.

Ein Sonderfall des Zwischenwertsatzes ist der Nullstellensatz:

• Wenn eine Funktion f in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig ist und die Funktionswerte an den Intervallgrenzen, f(a) und f(b), unterschiedliche Vorzeichen haben, dann hat f in [a; b] mindestens eine Nullstelle.

Der Graph G_f schneidet in einem solchen Fall die x-Achse im Intervall [a; b] mindestens einmal.

Beispiel:
Die Funktion f mit \(f (x) = x^5 - 1\) ist stetig im Intervall [0; 3] und es sind f(0) = –1 < 0 und f(3) = 242 > 0.  \(f (0) = - 1 < 0, f (3) = 242 > 0\).
Also hat f mindestens eine Nullstelle im Intervall [0; 3].

Anmerkung: Man kann durch Addition oder Subtraktion einer Konstante immer erreichen, dass die Funktionswerte an den Intervallgrenzen unterschiedliche Vorzeichen haben.