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Lexikon Mathe

Zusammengesetzte Funktionen

Mit dem Begriff zusammengesetzte Funktionen kann zweierlei gemeint sein:

  1. Ein Funktion hat auf verschiedenen Abschnitten des Definitionsbereichs unterschiedliche Funktionsterme, z. B.
    \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac 1 {\ln x} (x>0) \\ \ \ x \quad(x < 0)\end{matrix} \right.\)

    Typischerweise untersucht man bei der Kurvendiskussion solcher Funktionen Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Übergangsstelle zwischen den beiden Teilfunktionen. Im Beispiel ist die zusammengesetzte Funktion im Ursprung stetig (Grenzwerte von links und rechts stimmen mit dem Funktionswert überein), aber nicht differenzierbar (Grenzwerte der ersten Ableitung von links und von rechts sind verschieden).
     
  2. Für zwei Funktionen f, g mit gleichem Definitionsbereich Df = Dg = D kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren, indem man das Ergebnis für jedes x gelten lässt:
    (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
    (f · g)(x) = f(x) · g(x)
    (
    f : g)(x) = f(x) : g(x)  (\(g(x) \ne 0\))
    Solche Funktionen werden manchmal auch „zusammengesetzte Funktionen“ genannt.
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