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Lexikon Mathe

Zufallsvektor

Ein Zufallsvektor fasst mehrere vergleichbare Zufallsvariable zusammen. Beispielsweise kann in einem Wolfsrudel aus den Anzahlen von Welpen, Jungtieren und erwachsenen Tieren zu einem bestimmten Zeitpunkt den dreikomponentigen Zufallsvektor (W; J; E). Andere Bezeichnungen für Zufallsvektor sind Zustandsvektor und mehrdimensionale bzw. multivariate Zufallsvariable. Wie bei den aus der Analytischen Geometrie bekannten Vektoren beschreibt auch das Produkt aus einer Matrix und einem Vektor eine Abbildung von einem Vektor auf einen anderen. Bei Zufallsvektoren heißen diese Matrizen Übergangsmatrizen. Im Beispiel des Wolfsrudels kann man damit den Zusammenhang zwischen der Bestandszahlen in den Jahren 2015 und 2016 beschreiben:

\(A \cdot \left(\begin{array}{c} W \\ J \\ E \end{array} \right)_{2015} = \left(\begin{array}{c} ww & jw & ew \\ wj & jj & ej \\ we & je & ee \end{array} \right) \cdot \left(\begin{array}{c} W \\ J \\ E \end{array} \right)_{2015} = \left(\begin{array}{c} W \\ J \\ E \end{array} \right)_{2016}\)

Die Einträge der Übergangsmatrix A sind jeweils die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Komponenten: wj z. B. ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Welpe im nächsten Jahr ein Jungtier (und nicht zwischendurch gestorben) ist. Die Wahrscheinlichkeit ww ist in diesem Modell immer 0, weil ein Welpe im nächsten Jahr immer entweder tot oder ein Jungtier ist.

Wenn ein Zufallsvektor bei wiederholter Multiplikation mit einer Übergangsmatrix A sich immer mehr einem festen Wert annähert, nennt diesen den Fixvektor oder Grenzvektor. Mit der Matrixpotenz An kann man auch schreiben:

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} A^n \cdot \left(\begin{array}{c} W \\ J \\ E \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} W_\text{fix} \\ J_\text{fix} \\ E_\text{fix} \end{array} \right)\)

Im Grenzfall bekommt man dann die Grenzmatrix G, für die gilt

\(G \cdot \left(\begin{array}{c} W_\text{fix} \\ J_\text{fix} \\ E_\text{fix} \end{array} \right) = \left(\begin{array}{c} W_\text{fix} \\ J_\text{fix} \\ E_\text{fix} \end{array} \right)\)

Der Fixvektor ist also ein Eigenvektor der Grenzmatrix. Außerdem gilt A · G = G.

 

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