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Lexikon Mathe

Zinsrechnung

Bei der Zinsrechnung berechnet man, wie sich eine Kapital genannte Geldmenge verändert, wenn sie in regelmäßigen Zeitabständen um einen gewissen Prozentsatz, den Zinssatz, zu- oder abnimmt. Das Geld, das dazukommt (oder verschwindet), nennt man die Zinsen.

Im Prinzip handelt es sich hierbei einfach um eine Anwendung der Prozentrechnung, die Grundbegriffe entsprechen einander nach folgendem Schema:

\(\begin{matrix} \textbf{Kapital}\;K&\stackrel{\wedge}{=}&\text{Grundwert}\;G\\ \textbf{Zinssatz}\;p\,\%&\stackrel{\wedge}{=}&\text{Prozentsatz}\;p\,\%\\ \textbf{Zinsen}\;Z&\stackrel{\wedge}{=}&\text{Prozentwert}\;W \end{matrix}\)  

Dementsprechend ist die Grundgleichung der Zinsrechnung eine Umformulierung der Grundgleichung der Prozentrechnung. Sie lautet:

\(\displaystyle p\,\%=\frac{p}{100} = \frac{Z}{K} \)

\(\displaystyle Z=K\cdot p\,\% =\frac{K\cdot p}{100}\)

\(\displaystyle K=\frac{Z}{p\,\%} =\frac{Z\cdot 100}{p}\)

Dabei sind K das Kapital, p % der Zinssatz und Z die Zinsen.

Beispiele:
Ein Kapital K0 von 1500 € wird zu einem Zinssatz von 6% angelegt. Wie hoch sind die nach einem Jahr gezahlten Zinsen?
Die Zinsen nach einem Jahr entsprechen: \(\displaystyle Z_1=\frac{K_0\cdot p}{100}=\frac{1500\,€\cdot 6}{100}=90\, €.\) 


Nach einem Jahr erhält ein Anleger Zinsen Z in Höhe von 50 Euro, bei einem Zinssatz von 5%. Wie hoch war das Kapital K?
Das Kapital betrug: \(\displaystyle K=\frac{Z\cdot 100}{p}=\frac{50\, €\cdot 100}{5}=1000\,€\)

 

Wenn ausgezahlte Zinsen zum Kapital hinzugefügt und im nächsten Jahr mitverzinst werden, spricht man von Zinseszinsen, für diesen Fall gilt eine besondere Berechnungsformel.

 

Anmerkung: Wenn man Geld verleiht oder auf einem Konto anlegt, bekommt man Zinsen ausgezahlt (Z > 0), leiht man sich Geld bzw. nimmt einen Kredit bei der Bank auf, muss man Zinsen zahlen (Z < 0). Im zweiten Fall sind die Zinsen bei einer Bank immer höher als im ersten, damit verdient sie ihr Geld.

Noch eine Anmerkung: Der Einfachheit halber haben ein Bankjahr 360 und ein Bankmonat 30 Tage.

 

 

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