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Lexikon Mathe

Ziehen mit Zurücklegen

Bei einem Urnenmodell mit N Kugeln in der Urne der Fall, dass jede gezogene Kugeln wieder in die Urne zurückgelegt wird. Dadurch liegen bei jedem Ziehen gleich viele Kugeln jeder Sorte in der Urne und die Einzelwahrscheinlichkeiten sind bei allen Ziehungen gleich groß. In diesem Fall ist es auch möglich, häufiger zu ziehen als Kugeln in der Urne sind, die Zahl der Ziehungen k kann also auch größer als N (im Prinzip sogar eine beliebige natürliche Zahl) sein.

Beispiel:

Eine Bonbontüte enthält 4 blaue, 3 rote und 2 gelbe Bonbons. Da ich gerade Zahnschmerzen habe, esse ich die Bonbons nicht nach dem Ziehen, sondern lege sie wieder zurück in die Tüte. Bei jedem Ziehen betragen die Wahrscheinlichkeiten damit P(„blau“) = 4/9, P(„rot“) = 3/9 und P(„gelb“) = 2/9.

Mithilfe der Kombinatorik kann man ausrechnen, wie viele Fälle es insgesamt gibt. Und zwar entspricht diese Zahl der Zahl der Variationen bzw. Kombinationen mit Wiederholungen:

  • Wenn es auf die Reihenfolge, in der gezogen wird, ankommt (z. B. wenn mich das Ereignis „erst ein rotes, dann ein gelbes Bonbon“ interessiert), dann gibt es Nk verschiedene Möglichkeiten, dies ist die Zahl der k-Variationen mit Wiederholungen von N. Im Beispiel wären dies 82 = 64.
  • Ohne Beachtung der Reihenfolge entspricht die Zahl der möglichen Ausgänge der Zahl der k-Kombinationen mit Wiederholungen von N, beträgt also \(\displaystyle \frac{(N+k-1)!}{(N-1)!\cdot k!} = \begin{pmatrix}N+k-1\\k\end{pmatrix}\). Im Bonbon-Beispiel könnte es hier um das Ereignis „zweimal Ziehen und dabei ein rotes und ein gelbes Bonbon kriegen“ gehen. Die möglichen Fälle wären dann \(\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix} = 36\).

Für die konkrete Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beim Ziehen aus einer Urne benutzt man am einfachsten ein Baumdiagramm.

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