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Lexikon Mathe

Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung, bei der Winkel unverändert bleiben und Parallelen auf Parallelen abgebildet werden. Alle Längen werden im selben Verhältnis vergrößert oder verkleinert (eine „Stauchung“ ist in diesem Sinne auch eine Streckung!). Man bezeichnet die zentrische Streckung deshalb manchmal auch als maßstäbliche Vergrößerung bzw. Verkleinerung.

Zentrische Streckungen sind

  • geradentreu, d. h., die Bilder von Geraden sind wieder Geraden;
  • winkeltreu, d. h., die Bilder von Winkeln sind Winkel gleicher Größe;
  • parallelentreu, d. h., die Bilder von Parallelen sind wieder Parallelen;
  • kreistreu, d. h., die Bilder von Kreisen sind wieder Kreise;
  • verhältnistreu, d. h., Längenverhältnisse bleiben erhalten.

Eine zentrische Streckung wird durch das Streckzentrum Z und den Streckfaktor s (oft auch k) bestimmt. Bei |s| < 1 ist das Abbild kleiner als das Urbild, bei |s| > 1 ist das Abbild eine vergrößere Version des Urbilds. Wenn s = 1 ist, erhält man einfach die „identische Abbildung“, es ändert sich gar nichts, da Urbild und Abbild komplett identisch sind.

Wenn s negativ ist, wird das Urbild zusätzlich noch am Streckzentrum gespiegelt. Im Spezialfall s = –1 entspricht das einer Punktspiegelung.

Bei einer zentrischen Streckung gilt:

  1. Der Bildpunkt \(P'\) eines Punktes P liegt auf dem Strahl ZP.
  2. \(P'\) ist von Z s-mal so weit entfernt wie P, d. h. \(|ZP'| = s |ZP|\).

 

Beispiele:

  • Zentrische Streckung mit mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor s = 3. Sie erzeugt eine Vergrößerung (grün) des Originals;
Zentrische Streckung - Abbildung 1 

 

  • Zwei Streckungen mit dem Streckzentrum S, einmal mit dem Streckfaktor \(\displaystyle s = \frac{1}{2}\), das andere Mal mit dem Streckfaktor \(\displaystyle s = \frac{1}{4}\). Beide erzeugen Verkleinerungen.
Zentrische Streckung - Abbildung 2 
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