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Lexikon Mathe

Zahlenfolgen

Eine Zahlenfolge oder kurz Folge ist eine „durchnummerierte“ Menge von Zahlen, d. h. jedes Element hat einen natürliche Zahl als Nummer bzw. Index, wodurch die Reihenfolge aller Elemente festgelegt ist.

Es ist dabei nicht festgelegt, ob die Zahlenfolge endlich viele oder unendliche viele Folgenglieder hat (bei Folgen sagt man statt „Elemente“ meist „Glieder“). Es dürfen nur nicht mehr Glieder sein als es natürliche Zahlen gibt. (Für Feinschmecker: Der Index muss aus der „abzählbaren“ Menge der natürlichen Zahlen kommen, er darf nicht aus den „überabzählbaren“ reellen Zahlen gewählt werden.) In der Regel betrachtet man aber auch in der Schule unendliche Zahlenfolgen.

Wenn man die gesamte Folge meint, schreibt man in Klammern, also (an) = a0, a1, a2, …, an, …. (manchmal wird auch mit der 1 als erstem Index begonnen). Das n-te Glied der Folge wird dagegen ohne Klammern geschrieben: an.

Eine Zahlenfolge lässt sich auch als eine reellwertige Funktion mit den natürlichen Zahlen als Definitionsmenge interpretieren:

\(a\!: \mathbb N \rightarrow \mathbb R,\ n \mapsto a_n\)

Der Funktionsgraph einer Zahlenfolge ist keine Linie, sondern setzt sich aus einer Abfolge von diskreten Punkten im Koordinatensystem (Achsenkreuz) zusammen.

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Bildungsgesetz einer Zahlenfolge anzugeben:

  • Bei einer expliziten Definition gibt es einen Funktionsterm, mit dem man für jedes n das zugehörige Folgenglied berechnen kann, z. B. \(\displaystyle a_n = \frac 1 n\).
  • Bei einer impliziten oder rekursiven Definition gibt man das erste Glied an und sagt dann, wie man das (+ 1)-te Folgenglied aus dem n-ten Folgenglied berechnet, z. B. a0 = 1 und  an+1 = 2an + 1. Solche Zahlenfolgen sind erheblich schwieriger zu behandeln.

 

Beispiele:

  • Die natürliche Zahlen selbst sind eine Zahlenfolge (a ist einfach die identische Funktion): an = n oder (an) = 1; 2; 3; 4; 5; …
  • Eine sogenannte alternierende Folge mit von Folgenglied zu Folgenglied wechselndem Vorzeichen: \(\displaystyle (a_n) = - 1; \frac{1}{2} ; - \frac{1}{3} ; \frac{1}{4} ; - \frac{1}{5} ;\ \ldots\), oder explizit: \(\displaystyle a_n = ( - 1)^n \cdot \frac{1}{n}\ (n \in \mathbb{N})\).

 

Bei einer Reihe von Zahlenfolgen kann man sowohl eine explizite als auch eine rekursive Definition angeben, z. B. gilt für die natürlichen Quadratzahlen einerseits an = n2 und andererseits a1 = 1 und  an+1 = an + (2n – 1).

​Eine sehr interessante Zahlenfolge sind die Fibonacci-Zahlen (nach dem italienischen Mathematiker Leonardo Fibonacci): 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; … Sie haben das rekursive Bildungsgesetz a1 = a2 = 1; an+2 = an+1 + an. Jedes Glied mit Ausnahme der ersten beiden ist also die Summe der beiden vorhergehenden Glieder.

Eine wichtige Frage bei Zahlenfolgen (und erst recht bei aufsummierten Zahlenfolgen, also Reihen) ist die Frage, ob diese über alle Grenzen wachsen, wenn n gegen unendlich geht, oder ob eine gegebene Zahlenfolge immer unter oder über einem bestimmten Schrankenwert bleibt (beschränkt ist) oder sogar gegen einen festen Grenzwert konvergiert.

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