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Lexikon Mathe

Zahlenbereiche

Unter den Zahlenbereichen versteht man die folgenden für die ganze Mathematik grundlegenden Mengen (man nennt sie auch Zahlenmengen, dies ist aber ziemlich missverständlich, weil fast alle Mengen, mit denen man in der Mathematik zu tun kriegt, Zahlen als Elemente haben …): 

  • Menge \(\mathbb{N}\) der natürlichen Zahlen:  {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...}
    Anmerkung: Es wurde lange darüber diskutiert, ob die Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, heute ist es aber üblich, sie dazu zu zählen. Man schreibt dann \(\mathbb N^* = \mathbb N\setminus \{0\}\). Früher wurde dagegen die Bezeichnung \(\mathbb N_0\) für die Menge {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ...} benutzt.

  • Menge \(\mathbb{Z}\) der ganzen Zahlen:  {...; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ...}

  • Menge \(\mathbb B\) der Bruchzahlen bzw. nichtnegativen rationalen Zahlen:  \(\displaystyle \left\{ \left.\frac{m}{n} \right|\ n, m \in \mathbb N\ \land m\ \neq0 \right\}\)

  • Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen\(\displaystyle \left\{ \left.\frac{m}{n} \right|\ n, m \in \mathbb Z\ \land m\ \neq0 \right\}\)

  • Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen\(\displaystyle \left\{ \left. x \right|\ x \in \mathbb Q\ \lor x \text{ irrational } \right\}\)

Man den Übergang von einem Zahlbereich zu einem größeren, ihn umfassenden Zahlbereich, wodurch bestimmte Operationen möglich werden, die sonst nicht erlaubt wären, eine Zahlbereichserweiterung.

Beispiele:
Die Einführung der negativen Zahlen (\(\mathbb N \mapsto \mathbb Z\)) ermöglicht es, beliebige Zahlen voneinander zu subtrahieren.

Die Einführung der Brüche (\(\mathbb N \mapsto \mathbb B\)) ermöglicht es, beliebige Zahlen (ungleich 0) durcheinander zu dividieren.

 

Anmerkung: Auch wenn die reellen Zahlen in einem sehr grundsätzlichen Sinn „alle“ Zahlen darstellen, kann man auch diesen Zahlbereich noch erweitern zur Menge \(\mathbb C\) der sog. komplexen Zahlen. In dieser Menge gibt es eine Zahl \(\text i = \sqrt{-1}\), wodurch dann sozusagen „alles“ erlaubt ist (außer durch null zu teilen oder den Logarithmus von null zu bilden). Dieser Zahlbereichserweiterung liegt der Trick zugrunde, Punkte in der zweidimensionalen Ebene als Zahlen aufzufassen und dabei Addition und Multiplikation so raffiniert zu definieren, dass \(\mathbb R\) eine Teilmenge von \(\mathbb C\) wird und außerdem Wurzeln aus negativen Zahlen u. Ä. sinnvoll definiert werden können.
Die komplexen Zahlen sind zwar wirklich ziemlich interessant, aber nur in Ausnahmefällen Schulstoff und werden deshalb in diesem Lexikon nicht weiter behandelt.

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