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Lexikon Mathe

Winkel am Kreis

An einem Kreis kann man verschiedene Winkel betrachten:

  • Ist \(\overline{AB}\) eine Sehne des Kreises mit dem Mittelpunkt \(M\), dann heißt \(\measuredangle\) \(AMB\) Mittelpunktswinkel.
    Winkel am Kreis - Abbildung 1
     
  • Ist \(\overline{AB}\) eine Kreissehne und \(S\) ein Punkt auf dem Kreisumfang, dann heißt\(\measuredangle\) \(ASB\) Umfangswinkel.
    Winkel am Kreis - Abbildung 2
    Beachte: Zu einer gegebenen Sehne \(\overline{AB}\) gehören ein Mittelpunktswinkel, aber unendlich viele Umfangswinkel.
     
  • Ist \(\overline{AB}\) eine Sehne und sind \(t_a, t_b\) Kreistangenten in \(A\) bzw. \(B,\) dann heißt der von der Sehne \(\overline{AB}\) und einer Tangente eingeschlossene Winkel Sehnentangentenwinkel.
    Winkel am Kreis - Abbildung 3
    Beachte: Sowohl in A als auch in B entstehen je zwei Sehnentangentenwinkel; sie ergänzen sich zu 180°.

 

Es gelten die folgenden Sätze:

  • Der Mittelpunktswinkel \(\delta\) ist doppelt so groß wie der auf der gleichen Seite der Sehne liegende Umfangswinkel \(\varphi\).
    Winkel am Kreis - Abbildung 4
  • Der Mittelpunktswinkel \(\delta\) ist auch doppelt so groß wie der zum gleichen Kreisgoben gehörenden Sehnentangentenwinkel \(\sigma\).
    Winkel am Kreis - Abbildung 5
  • Umfangswinkel auf dem gleichen Bogen sind gleich.
    Winkel am Kreis - Abbildung 6
  • Die Umfangswinkel \(\varphi_1\) und \(\varphi_2\) auf einem Bogen und dem Restbogen ergänzen sich zu 180°.
    Winkel am Kreis - Abbildung 7
  • Der Sehnentangentenwinkel \(\sigma\) und der zum gleichen Kreisgoben gehörende Umfangswinkel \(\varphi\) sind gleich groß.
    Winkel am Kreis - Abbildung 8
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