Bessere Noten mit Duden Learnattack Jetzt kostenlos testen
 
Lexikon Mathe

Windschiefe Geraden

Zwei Geraden heißen windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben. Dies ist nur im dreidimensionalen Raum möglich, in der Ebene schneiden sich nicht parallele Geraden immer.

Windschiefe Geraden - Abbildung 1

Ein Kriterium dafür, dass zwei Geraden im Raum zueinander windschief stehen, ist, dass beide Richtungsvektoren und der Differenzvektor (Verbindungsvektor) eines beliebigen Punkts auf der einen Geraden und eines Punkts auf der anderen voneinander linear unabhängig sind.

Beispiel:

\(g\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ ( \lambda \in \mathbb{R})\)   und    \(h\!: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -4 \\ -2 \end{pmatrix} \ \ ( \mu \in \mathbb{R})\)

Sind die beiden Richtungsvektoren und der Verbindungsvektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}\) linear unabhängig?

\(\det \left( \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-3 \\ 1-5 \end{pmatrix} \right) = \begin{vmatrix} 3 & -3 & 3 \\ 2 & -4 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = 3 \cdot (- 4) \cdot (- 4) + (-3) \cdot 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 4) \cdot 3 - 2 \cdot 0 \cdot 3 - (- 4) \cdot 2 \cdot (- 3) = 48 \neq 0\)

Die Determinante ist ungleich 0, also sind g und h tatsächlich windschief.

Registriere dich, um den vollen Inhalt zu sehen!

VERSTÄNDLICH

PREISWERT

ZEITSPAREND

Weitere Mathethemen findest du hier

Wähle deine Klassenstufe

Weiterführende Lexikonartikel