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Lexikon Mathe

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder kurz Verteilung) ist eine Funktion, die für alle möglichen Ergebnisse bzw. Ereignisse bei einem Zufallsexperiment angibt, wie wahrscheinlich sie sind. Dabei muss man zunächst einmal unterscheiden, ob es nur einzelne diskrete Ergebnisse gibt („Kopf“ und „Zahl“ oder „Augenzahl 1 bis 6“) oder man es mit einer stetigen bzw. kontinuierlichen Zufallsvariablen („Größe von 1,50 m bis 1,80 m“) zu tun hat. Dementsprechend spricht man auch von diskreten und stetigen Verteilungen. Weiterhin unterscheidet man zwischen einer Verteilung, welche die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse angibt, und einer kumulierten oder Summenverteilung, die sagt, wie wahrscheinlich es ist, dass irgendein Wert auftritt, der höchstens so groß wie eine vorgegebene obere Grenze ist. Am Beispiel der diskreten Binomialverteilung berechnet die Funktion Bn; p(k) die Wahrscheinlichkeit von k „Erfolgen“, also P(X = k), während die kumulierte Binomialverteilung \(F_{n; \ p}(k) = \displaystyle \sum_{i=1}^k B_{n; \ p}(i) = P(X\le k)\) die Wahrscheinlichkeit für höchstens k Erfolge liefert.

Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist die Situation etwas anders. Hier ist die Wahrscheinlichkeit immer als ein bestimmtes Integral definiert, sodass es nur sinnvoll ist, von der Wahrscheinlichkeit eines großen oder kleinen Intervalls zu sprechen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt dann immer eine (kumulierte) Wahrscheinlichkeit \(P(X\le x)\) an, sie ist definiert als das Integral über die sog. Wahrscheinlichkeitsdichte. Bei der Normalverteilung ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeitsdichte die Gauß-Funktion \(\varphi(x)\) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Integralfunktion \(\displaystyle \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\text dt\).

 
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