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Lexikon Mathe

Wachstumsfaktor und Abnahmefaktor (Prozentrechnung)

In der Prozentrechnung benutzt man den Wachstumsfaktor q, um zwei aufeinanderfolgende Werte P0 und P1 einer Reihe zu vergleichen, oder auch, um bei der Zinsrechnung das Endkapital nach einer bestimmten Anzahl von Jahren mit dem ursprünglichen Grundkapital ins Verhältnis zu setzen. Der Wachstumsfaktor q berechnet sich wie folgt:

\(\displaystyle q=\frac{P_1}{P_0}=1+\frac{p}{100} \)

wobei p in % den Prozentsatz bezeichnet. Um im normalen Sinn von einem Wachstum sprechen zu können, muss p > 0 und dementsprechend q < 1 sein, nur dann ist P1 größer als der vorherige Wert P0. Ist dagegen p > 0 bzw. q < 1, so liegt eine Abnahme vor und nennt den Faktor q dann auch Abnahmefaktor (es ist in der Mathematik aber durchaus auch üblich, eine Abnahme als „negatives Wachstum“ oder ein Gefälle als eine „negative Steigung“ zu bezeichnen).

Beispiele:

  • Der Preis für einen Liter Milch, ursprünglich 1,20 Euro, steigt um 40 %. Wie hoch ist der neue Preis?

Da der Preis steigt, handelt es sich um „echtes“ Wachstum mit \(\displaystyle q = 1+\frac{40}{100}=1,4>1\). Der neue Preis P1 ist das Produkt aus dem Ursprungspreis P0 und dem Wachstumsfaktor, also:

\(P_1 = P_0\cdot q=1,20 \,\text{Euro}\cdot 1,4=1,68\,\text{Euro}.\)

  • Der Preis eines Autos verändert sich von 20.000 Euro (P0) auf 19.000 Euro (P1). 1. Liegt ein Wachstums- oder Abnahmeprozess vor? 2. Um wie viel Prozent hat sich der Preis verändert?
  1. Der Faktor q bestimmt die Veränderung einer bestimmten Größe. Um zu entscheiden, welcher Prozess vorliegt, schauen wir uns die Veränderung des Autopreises an: \(\displaystyle q=\frac{P_1}{P_0}=\frac{19.000\,\text{Euro}}{20.000\,\text{Euro}}=0,95<1\). Es handelt sich also um einen Abnahmeprozess.
  2. Um den Prozentsatz p zu ermitteln, lösen wir die Gleichung nach p auf:

\(p = 100\cdot (q-1) \Rightarrow p = 100\cdot (0,95-1) = -5\). Der Prozentsatz beträgt –5 %. Das Minuszeichen deutet wiederum an, dass es sich um einen Abnahmeprozess handelt.

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