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Lexikon Mathe

Urnenmodelle

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung dienen Urnenmodelle dazu, Zufallsexperimente auf Laplace-Experimente zurückzuführen, für welche die Wahrscheinlichkeiten recht übersichtlich berechnet werden können.

Beispiel:

Eine Schulklasse besteht aus 15 Mädchen und 12 Jungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Mädchen auszuwählen? Die Situation wird durch ein Urne genanntes, undurchsichtiges Gefäß modelliert, das 12 blaue und 15 rote Kugeln enthält. Wird daraus zufällig eine Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel („Mädchen“) zu ziehen, \(P(„\text{rot}“) = \displaystyle \frac{15}{27}\) – entsprechend der Merkregel „günstige Fälle (Anzahl der roten Kugel) durch alle Fälle (Anzahl aller Kugeln)".

Allgemein enthält die Urne \(N\) gleichartige Kugeln, die je nach Problemstellung mit verschiedenen Merkmalen (Farbe, Nummer usw.) versehen sind. Es werden der Reihe nach n Kugeln gezogen und deren jeweiligen Merkmale notiert. Wenn n > 1 ist, also bei mehrstufigen Zufallsexperimenten, unterscheidet man zum einen, die Reihenfolge, in welcher die Kugeln gezogen werden, eine Rolle spielt oder nicht.

  • Mit Berücksichtigung der Reihenfolge entspricht die Zahl der Elemente in der Ergebnismenge \(\Omega\) (Zahl der möglichen Ausgänge bzw. „alle Fälle“) der Zahl der Permutationen von N bzw. der n-Variationen von N.
  • Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge ist die Mächtigkeit der Ergebnismenge \(\Omega\) gleich der Zahl der n-Kombinationen von N.

Zum anderen muss man unterscheiden, ob eine gezogene Kugel nach dem Ziehen zurückgelegt wird, also bei jedem Ziehen die gleichen N Kugeln in der Urne liegen, sodass die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Kugel zu ziehen, immer gleich bleibt (Ziehen mit Zurücklegen), oder ob eine einmal gezogene Kugel „draußen“ bleibt, in diesem Fall gibt es nach jedem Ziehen eine Kugel weniger und die Einzelwahrscheinlichkeiten ändern sich nach jeder Ziehung (Ziehen ohne Zurücklegen).

Man kann die Wahrscheinlichkeiten bei einem Urnenmodell auch sehr anschaulich mit einem Baumdiagramm herleiten.

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