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Lexikon Mathe

Ungleichungen von Tschebyschew

Eine Gruppe von nach dem ukrainisch-russischen Mathematiker P. L. Tschebyschew (auch Tschebyschow), 1821–1894, benannten Ungleichungen, mit denen man abschätzen kann, wie wahrscheinlich es ist, dass der Wert einer Zufallsvariablen X mit dem Erwartungswert \(E(X) = \mu\) und der Varianz \(Var(X) = \sigma^2\) außerhalb bzw. innerhalb eines gegebenen Intervalls um den Erwartungswert liegt.

Hat also X die Warscheinlichkeitsverteilung P mit \(E(X) = \mu\) und \(Var(X) = \sigma^2\), dann gilt für jede positive reelle Zahl a:

  • \(\displaystyle P(|X-\mu| > a) < \frac{\sigma^2}{a^2}\)
  • \(\displaystyle P(|X-\mu| \ge a) \le \frac{\sigma^2}{a^2}\)
  • \(\displaystyle P(|X-\mu| < a) \ge 1- \frac{\sigma^2}{a^2}\)
  • \(\displaystyle P(|X-\mu| \le a) > 1- \frac{\sigma^2}{a^2}\)
Achtung: Man bekommt nur für \(a > \sigma(X)\) vernünftige Abschätzungen (\(\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}\) ist die Standardabweichung).

Beispiel:

X ist die Abmessung eines Lineals in Millimetern und es sind E(X) = 100 und  \(\sigma (X) = 0,2\). Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass X um mehr als a = 0,4 von 100 abweicht, also außerhalb des Intervalls [99,6; 100,4] liegt, kleiner als 25 %, denn es ist
\(\displaystyle P (|X - 100| > 0,4) < \frac{0,2^2}{0,4^2} = 25\ \%\)

Man kann aus den Tschebyschew-Ungleichungen direkt das Gesetz der großen Zahl ableiten.
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