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Lexikon Mathe

Umwandeln zwischen Darstellungsformen von Ebenen

Umwandeln aus der Parameterform in die Normalen- und Koordinatenform

(Die Umwandlung zwischen Darstellungsformen von Geraden funktioniert im genauso wie bei Ebenen, nur mit einer Koordinate bzw. Vektorkomponente weniger.)

Wenn eine Ebene E in Parameterform (Stützvektor \(\vec a\), Spannvektoren \(\vec u\) und \(\vec v\)) gegeben ist, wandelt man die Darstellung folgendermaßen in eine Normalform um:

\(E:\overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} + \mu \cdot \overrightarrow{v} \ (\lambda , \mu \in \mathbb{R})\)

Ansatz: \(E: \overrightarrow{n} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a} ) = 0\)

Man berechnet den Normalenvektor \(\overrightarrow{n}\) über das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) \(\overrightarrow{n} =\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\), da dieser definitionsgemäß auf beiden Spannvektoren senkrecht stehen muss.

Einsetzen von \(\overrightarrow{n} \) in den Ansatz ergibt: \(E: \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 \\ x_3 - a_3 \end{pmatrix} = 0 \ \Leftrightarrow \ n_1 \cdot ( x_1 - a_1) + n_2 \cdot ( x_2 - a_2) + n_3 \cdot ( x_3 - a_3) = 0\)

Die Koordinatenform bekommt man daraus durch Einsetzen und Sortieren nach den Komponenten von \(\vec x\).

 

Eine andere Berechnungsmöglichkeit nutzt aus, dass die Vektoren \((\overrightarrow{a} - \overrightarrow{x})\)\( \overrightarrow{u}\) und \(\overrightarrow{v}\) linear abhängig sind. Daraus folgt

\(\det ( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{x} , \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} ) = \begin{vmatrix} &a_1-x_1& &u_1& &v_1& \\ &a_2-x_2& &u_2& &v_2& \\ &a_3-x_3& &u_3& &v_3& \end{vmatrix} = 0\)

 

Die Achsenabschnittsform bekommt man aus der Normalenform, indem man das konstante Glied auf die rechte Seite bringt und dann die ganze Gleichung dadurch teilt. Man erhält dann  \(\displaystyle E: \frac{x_1}{s} + \frac{x_2}{t} + \frac{x_3}{u} = 1\). s, t und u sind die jeweiligen Achsenabschnitte.

 

2. Umwandeln aus Koordinatenform in die Parameterform

Man setzt in der Ebenengleichung in Koordinatenform für zwei Komponenten von \(\vec x\) (z. B. x1 und x2) die „Laufparameter“ der Parameterform \(\lambda\) und \(\mu\). Dadurch wird die Ebenengleichung in Normalenform zu einer Gleichung für die dritte Komponente (x3). Dann schreibt man \(\vec x\) in Vektorschreibweise, setzt \(\lambda\) und \(\mu\) und x3 ein und trennt schließlich in drei Summanden (Stützvektor und Spannvektoren).

Beispiel:

\( E: 6 x_1 - 4 x_2 + 2 x_3 - 12 = 0\)

\(6\lambda - 4\mu + 2 x_3 - 12 = 0 \Leftrightarrow x_3 = 6 - 3\lambda + 2\mu\)

\(\Rightarrow E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu \\ 6-3\lambda +2\mu \end{pmatrix}\ \Leftrightarrow \ E: \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \ ( \lambda , \mu \in \mathbb{R})\)

 

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