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Lexikon Mathe

Trigonometrie

Die Trigonometrie (griech., wörtlich „Dreiecksvermessung“) beschäftigt sich, anders als der Name vermuten lässt, mit dem Ausrechnen von fehlenden Größen in einem Dreieck, also etwa Winkeln, Seitenlängen, Höhen usw. Wesentlich sind dabei die zunächst nur am rechtwinkligen Dreieck definierten trigonometrischen oder Winkelfunktionen. Es gelten dabei die Merksätze „Sinus ist Ankathete durch Hypotenuse“ (\(\displaystyle \sin \alpha = \frac a c\)), „Kosinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse“ (\(\displaystyle \cos \alpha = \frac b c\)) und „Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete“ (\(\displaystyle \tan \alpha = \frac a b = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)). Die Trigonometrie hat viele praktische Anwendungen, besonders im Vermessungswesen, wo man auch von „Triangulation“ (lat., wörtlich „Verdreieckung“) spricht.

 - Abbildung 1

Zusammen mit dem Satz des Pythagoras (und dem Winkelsummensatz) kann man am rechtwinkligen Dreieck mit den trigonometrischen Funktionen die wesentlichen Berechnungen durchführen. Mit dem Sinus- und dem Kosinussatz gelingt das auch beim allgemeinen Dreieck.

Es gibt eine Reihe von wichtigen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen:

  • \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
  • \(\sin (90° -\alpha) = \cos \alpha\)
  • \(\cos (90° -\alpha) = \sin \alpha\)
  • \(\displaystyle \tan (90° -\alpha) = \frac{1}{\tan \alpha}\)
  • \(\sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha\cos \beta\pm \cos \alpha\sin \beta\)
  • \(\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha\cos \beta\mp \sin \alpha\sin \beta\)

Bei einigen besonderen Winkeln gibt es leicht zu merkende Funktionswerte, sonst sind die Werte der trigonometrischen Funktionen in der Regel irrationale Zahlen.

Wenn man nicht nur Winkel im rechtwinkligen Dreieck, sondern am Einheitskreis betrachtet, kann man die trigonometrischen Funktionen nicht nur für die im Dreieck nicht möglichen Winkel 0° und 90° bzw. im Bogenmaß 0 und \(\displaystyle \frac\pi 2\), sondern für beliebige reelle Argumente erweitern (man muss natürlich ausschließen, dass beim Tangens durch null geteilt wird).

Trigonometrie - Abbildung 1

Man erkennt an der Abbildung unter anderem, dass für sehr kleine Winkel Sinus und Tangens sich immer mehr annähern und der Tangens bei 90° oder 270° über alle Grenzen wächst.

Die Vorzeichen von sin, cos und tan in den vier Quadranten stellt die folgende Tabelle zusammen:

Quadrant I. II. III. IV.
sin \(\alpha\) bzw. sin x + +
cos \(\alpha\) bzw. cos x + +
tan \(\alpha\) bzw. tan x + +
 

 

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