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Lexikon Mathe

Teiler und Vielfache

Eine natürliche Zahl a heißt Teiler einer natürlichen Zahl b, wenn die Division b : a aufgeht, d. h., wenn es eine natürliche Zahl n gibt mit a · n = b.

Ist a ein Teiler von b, dann ist gleichzeitig b ein Vielfaches von a. b ist dann nämlich das „n-Fache“ von a (siehe oben).

 

Man schreibt:

  • \(a \mid b\) (sprich: „a ist Teiler von b“ oder „a teilt b“),

  • \(a \nmid b\) (sprich: „a ist kein Teiler von b“ oder „a teilt b nicht“).

Beispiele:
2 ∣ 8
5 ∣ 25
7 ∤ 10
3 ∣ 21
31 ∤ 97

 

Weitere Eigenschaften von Teilern und Vielfachen:

  • Äquivalent mit „\(a \mid b\)“ ist die Aussage, dass die Division b : a den Rest 0 ergibt.

  • Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
    \(n \mid n\),    \(n \mid 0\),    \(1 \mid n\).

  • Die Vielfachen von 2 heißen gerade Zahlen, die anderen natürlichen Zahlen heißen ungerade Zahlen.

  • Eine Zahl, die als einzige Teiler die 1 und sich selbst hat, ist eine Primzahl.

  • a kann nur dann ein nichttrivialer Teiler von b sein (d. h. \(a \ne 1,\ a \ne b\)), wenn a nicht größer als die Quadratwurzel von b ist. (Dies macht man sich bei der Suche nach Primzahlen zunutze.)

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