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Lexikon Mathe

Substitutionsregel

Die Substitutionsregel der Integralrechnung ist gewissermaßen die Umkehrung der Kettenregel beim Ableiten. Der „Trick“ besteht dabei darin, eine zu integrierende Funktion als Produkt „Verkettung mal innere Ableitung“ zu schreiben. Es ist nämlich, wenn f im Intervall [g(a); g(b)] stetig und g im Intervall [abstetig differenzierbar ist:

\(\displaystyle \int f ( g(x) ) \cdot g' (x)\, \text dx = \int f ( t ) \, \text dt = F (x) + C\) mit  t = g(x)  bzw.

\(\displaystyle \int_a^b\! f ( g(x) ) \cdot g' (x)\, \text dx = \int_{g(a)}^{g(b)}\! f ( t ) \, \text dt = \Big[F (x) \Big]_{g(a)}^{g(b)}\)

Dabei sind \(x \mapsto g (x) = t\) die „Substitution“ (lat., wörtlich: „Ersetzung“, man ersetzt den Term g(x) durch die Variable t) und \(g'(x)\) die „innere Ableitung“. Weiterhin ist F eine Stammfunktion von f, und den Ausdruck f(g(x)) könnte man auch als Verkettung \((f \circ g) (x)\) schreiben.

Achtung: Wenn man die Substitutionsregel beim bestimmten Integral anwendet, muss man unbedingt auch die Integrationsgrenzen „mitsubstituieren“!

Die Substitutionsregel enthält als einen Spezialfall das sog. logarithmische Integrieren.

 Anmerkung: Nach der Kettenregel ist
\(\displaystyle (F \circ g)' (x) = F'(g(x)) \cdot g'(x) = f(g(x)) \cdot g'(x) \)

also ist
\(\displaystyle F(t) = F(g(x)) =(F \circ g) (x) = \int (F \circ g)' (x) \, \text dx = \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, \text dx\)

 

Praktisches Vorgehen:

  1. Suche einen geeigneten Substitutionsterm \(g (x)\), sodass \(g' (x)\) (ggf. bis auf einen konstanten Faktor) im Integranden als Faktor vorkommt.
  2. Substituiere g(x) durch t und \(g' (x)\, \text dx\) durch dt sowie die Integrationsgrenzen a und b durch g(a) und g(b).
  3. Berechne das substituierte Integral.

Beispiele

  • \(\displaystyle \int_0^b \sqrt{b^2-x^2}\cdot x\, \text dx = \int_0^b \sqrt{b^2-x^2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot (-2x)\, \text dx\)
    (Substitution: \(t = b^2 - x^2 = g (x)\))
    \(\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \int_0^b \!\sqrt{b^2-x^2}\cdot (-2x)\, \text dx = \left(-\frac 1 2 \right)\cdot \int_{b^2-0^2}^{b^2-b^2} \!\sqrt{t}\,\text dt = \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left[\frac{t^{0,5+1}}{0,5+1}\right]^0_{b^2} = -\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{0^{1,5}}{1,5}-\frac{(b^2)^{1,5}}{1,5}\right)=\frac{1}{3}b^3\)
  • \(\displaystyle \int_1^{\text e} \frac{1}{x\cdot \sqrt{\ln x}}\, \text dx = \int_1^{\text e} \frac{1}{\sqrt{\ln x}}\cdot \frac{1}{x}\,\text dx = \int_{\ln 1}^{\ln e} \frac{1}{\sqrt{t}}\, \text dt = \left[\frac{t^{0,5}}{0,5}\right]^1_0 = 2 \sqrt{1}-2\sqrt{0} = 2\)
    (Substitution: \(t = \ln x = g (x)\).)

 

Man kann die Substitutionsregel auch „andersherum“ formulieren, sofern g umkehrbar und g–1 auf [ab] stetig differenzierbar ist:

\(\displaystyle \int_a^b\! f (x)\, dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}\! f (g( t) )\cdot g'(t) \, dt\)   mit    x = g–1(x)

Praktisches Vorgehen:

  1. Suche einen geeigneten Substitutionsterm \(t = g^{-1} (x)\) oder x = g(t), löse nach der anderen Variablen auf und bestimme \(g' (t)\).
  2. Substituiere x durch g(t) und dx durch \(g' (t) dt\) sowie die Integrationsgrenzen a und b durch \(g^{-1} (a)\) und \(g^{-1} (b)\).
  3. Berechne das neue Integral.

Beispiel:

  • \(\displaystyle \int_0^{0,75} \frac{x}{\sqrt{1-x}}\, \text dx = \int\limits_{\sqrt{1-0}}^{\sqrt{1-0,75}} \frac{(1-t^2)}{t}\cdot (-2t)\,\text dt = -2\cdot \int\limits_{1}^{0,5} (1- t^2)\, \text dt\)
    (Substitution: \(t = \sqrt{1-x} = g^{-1} (x) \Rightarrow x = 1 - t^2 = g (t)\) und dx = –2dt)
    \(\displaystyle - 2 \cdot \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]^{0,5}_1 = -2\cdot \left[\left(0,5-\frac{0,5^3}{3}\right)-\left(1-\frac{1^3}{3}\right)\right] = \frac{5}{12}\)
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