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Lexikon Mathe

Strahlensätze

Die Strahlensätze sind wichtige geometrische Merksätze, mit denen man unbekannte Streckenlängen ausrechnen kann. Sie beruhen auf den Prinzipien von zentrischer Streckung und Ähnlichkeit.

 

Erster Strahlensatz

Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so ist das Verhältnis entsprechender Längen auf beiden Strahlen gleich, denn entsprechende Längen auf den Strahlen enthalten gleich viele Abschnitte.

\(\displaystyle \frac{|SA_1|}{|SA_2|}=\frac{|SB_1|}{|SB_2|}\) oder \(\displaystyle \frac{|A_1A_2|}{|A_2A_3|}=\frac{|B_1B_2|}{|B_2B_3|}\)

In der Grafik (unten) gilt beispielsweise: \(\displaystyle |SA_1| = 4 a,\ |SA_2| = 6 a,\ |SB_1| = 4 b,\ |SB_2| = 6 b\) und deshalb \(\displaystyle \frac{|SA_1|}{|SA_2|}=\frac{|SB_1|}{|SB_2|}=\frac{4}{6}\).

Zweiter Strahlensatz

Werden zwei Strahlen von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die vom Scheitel aus gemessenen Längen auf einem Strahl wie die entsprechenden Abschnitte auf den Parallelen, denn vom Scheitel aus gemessene Längen auf einem Strahl und die entsprechenden Abschnitte auf den Parallelen enthalten gleich viele Abschnitte.

\(\displaystyle \frac{|SA_1|}{|SA_2|}=\frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}\) oder \(\displaystyle \frac{|SA_3|}{|SA_4|}=\frac{|A_3B_3|}{|A_4B_4|}\)

In der Grafik kann man ablesen: \(\displaystyle |SA_1| = 4a,\ |SA_2| = 6a,\ |A_1B_1| = 4c,\ |A_2B_2| = 6c\) und deshalb \(\displaystyle \frac{|SA_1|}{|SA_2|}=\frac{|A_1B_1|}{|A_2B_2|}=\frac{4}{6}\).

Strahlensätze - Abbildung 1
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