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Lexikon Mathe

Standardaufgaben der Bernoulli-Kette

Beispiele:

\(X\) sei die Anzahl der Treffer (Sechser). Fünfmaliges Werfen eines Würfels: \(( n = 5, p = \frac{1}{6} )\)

  • Genau einmal \(6\)“:

\(P (X = 1) = B_{5;\frac{1}{6}} (1) = \dbinom{5}{1} \cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^1 \cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^4 \approx 40 \%\)

  • Mindestens zweimal \(6\)“:

\(P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) = 1 - \textstyle \sum_{k=0}^1 B_{5;\frac{1}{6}} (k) \approx 1 - 0,80 = 20 \%\)

  • Mindestens zweimal und höchstens viermal \(6\)“:

\(P (2 \leq X \leq 4) = P (X \leq 4) - P (X \leq 1) =\textstyle \sum_{k=0}^4 B_{5;\frac{1}{6}} (k) - \textstyle \sum_{k=0}^1 B_{5;\frac{1}{6}} (k) \approx 0,999 87 - 0,803 76 \approx 19,6 \%\)

Der folgende Aufgabentyp heißt Drei-Mindestens-Aufgabe bzw. „Dreimal-Mindestens-Aufgabe“.

  • Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine Sechs fällt, mindestens 95 % ist?

Es liegt eine Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit \(p = \frac{1}{6}\) vor. \(P\) („Bei \(n\) Würfen mindestens einmal \(6\)“) \(\geq 95 \% \Leftrightarrow\) 

\(1 - P\) („Bei n Würfen keine \(6\)“) \(\geq 0,95 \Leftrightarrow\)

\(P\) („Bei n Würfen keine \(6\)“) \(\leq 0,05 \Leftrightarrow (1 - p)^n \leq 0,05 \Leftrightarrow\) \(\left({\frac{5}{6}}\right)^n \leq 0,05 \Leftrightarrow \lg \left({\frac{5}{6}}\right)^n \leq \lg 0,05 \Leftrightarrow n \cdot \lg {\frac{5}{6}} \leq \lg 0,05 \Leftrightarrow n \geq \frac{\lg 0,05}{\lg \left({\frac{5}{6}}\right)} \Leftrightarrow n \geq 16,4... \Rightarrow n_{\text{min}} = 17.\)

Man muss mindestens \(17\)-mal werfen.

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