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Lexikon Mathe

Spatprodukt

Das Spatprodukt \( \left( \vec a, \vec b, \vec c \right)\) von drei Vektoren \(\vec a\)\(\vec b\) und \(\vec c\) ist definiert als das Skalarprodukt des Kreuzprodukts der ersten beiden Vektoren mit dem dritten:

\( \left( \vec a, \vec b, \vec c \right)= \left( \vec a \times \vec b \right) \cdot \vec c \).

Die geometrische Bedeutung des Spatprodukts liegt daran, dass das von den drei Vektoren aufgespannte Parallelepiped gerade das Volumen \(V = \left| \left( \vec a \times \vec b \right) \cdot \vec c \right|\) hat.

Das Spatprodukt ändert sich nicht, wenn man die Vektoren „zyklisch vertauscht“: \(\left( \vec a \times \vec b \right) \cdot \vec c = \left( \vec b \times \vec c \right) \cdot \vec a = \left( \vec c \times \vec a \right) \cdot \vec b \).

Außer durch „Zu-Fuß-Ausrechnen“ kann man das Spatprodukt auch als Determinante einer aus den drei Vektoren gebildeten Matrix bestimmen:

\( \left( \vec a, \vec b, \vec c \right) = \det \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix}\)

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