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Lexikon Mathe

Schnittwinkel zwischen Ebenen

Der Schnittwinkel \(\varphi\) zwischen zwei Ebenen E1 und E2 ist der (nicht stumpfe) Winkel zwischen ihren Normalenvektoren \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\).

 - Abbildung 1

 - Abbildung 1

mit den Ebenen  \(E_1 : \overrightarrow{n_1} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a_1} ) = 0\) und \(E_2 : \overrightarrow{n_2} \circ ( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{a_2} ) = 0\), mit den Aufpunkten (Stützvektoren) \(\vec a_1\) und \(\vec a_2\).

 

Beispiel:

\(E_1 : 2 x_1 - 6 x_2 + 3 x_3 + 4 = 0\)   und \(E_2 : 1,5 x_1 - x_2 + 3 x_3 - 1 = 0\)

\(\displaystyle \cos \varphi = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -6 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1,5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}}{\sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{1,5^2 + (-1)^2 + 3^2}} = \frac{18}{7 \cdot 3,5}\)

\(\displaystyle \varphi = \cos^{-1}\frac{18}{7 \cdot 3,5} \approx 43^{\circ}\)

 

Den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bzw. zwischen zwei Geraden bestimmt man ganz ähnlich.

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