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Lexikon Mathe

Schnittgeraden von Ebenen

Zwei Ebenen E1 und E2, die nicht parallel (und nicht identisch!) sind, schneiden sich in einer Geraden, der Schnittgeraden. Diese bestimmt man, indem man die Gleichungen der beiden Ebenen gleichsetzt und das sich ergebende Gleichungssystem löst. In Parameterform sieht das folgendermaßen aus (natürlich kann man auch andere Darstellungsformen der Ebenengleichung wählen oder aber eine andere Darstellungsform in die Parameterform umwandeln):

\(\vec a_1 +\lambda_1\vec u_1 + \mu_1\vec v_1 = \vec a_2 +\lambda_2\vec u_2 + \mu_2\vec v_2\)

Da das System insgesamt vier freie Parameter hat (\(\lambda_1,\ \mu_1, \ \lambda_2\) und \(\mu_2\)), aber nur drei Gleichungen enthält (für jede Vektorkomponente eine), besitzt die Lösung noch genau einen freien Parameter, sie ist also tatsächlich eine Gerade.

 

Beispiel:

\(E_1\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\ \ (\lambda_1,\ \mu_1 \in \mathbb{R})\)

\(E_2\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ (\lambda_2,\ \mu_2 \in \mathbb{R})\)

Bestimmung der Schnittgeraden \(g = E_1 \cap E_2\):

\(g\!: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu_1 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} +\lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Gleichungssystem:

\(\begin{array} & & +4\mu_1 & -\lambda_2 & -\mu_2 & = 1 \\ \lambda_1 & +2\mu_1 & -\lambda_2 & & = 1 \\ & +2\mu_1 & -\lambda_2 & -\mu_2 & = 0 \end{array}\)

Dies ergibt \(\mu_1 = 1/2\)\(\lambda_1 = \lambda_2 = ​\lambda\) und \(\mu_2 = 1 - \lambda\). Einsetzen in eine der beiden Ebenengleichungen ergibt die folgende Geradengleichung (in Parameterform) von g:

\(g\! : \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ ( \lambda \in \mathbb{R})\)

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