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Lexikon Mathe

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung hat den Vorteil, dass man aus ihr den Scheitelpunkt oder schlicht Scheitel S(s|t) des parabelförmigen Funktionsgraphen direkt ablesen kann:

\(y= a (x - s )^2 + t \ \ (s,t \in \mathbb R)\)

Für s = t = 0 geht dies in die Gleichung der Normalparabel y = x2 über, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt (wie es dann ja auch sein sollte). Man erkennt an der Scheitelpunktform auch, dass die allgemeine Parabel eine Normalparabel ist, die entlang der x-Achse um die Strecke s und entlang der y-Achse um die Strecke t verschoben ist (Form- und Lageänderungen von Funktionsgraphen).

Den Zusammenhang mit den Parametern der Standardnotation \(y = a x^2 + bx + c\) liefert die Gleichung
\(S(s|t) = S \left( \left. - \dfrac {b} {2a} \right|c - \dfrac {b^2} {4a} \right)\).

Beispiele:

  • \(f_1 : x \mapsto 0,5 x^2 + 4x + 8 = 0,5 (x + 4)^2\);   \( S (- 4|0); \ W_f = [0; \infty [\) (doppelte Nullstelle)
  • \( f_2 : x \mapsto x^2 + 1,5\);   \(S (0|1,5); \ W_f = [1,5; \infty [\) keine Nullstelle
  • \( f_3 : x \mapsto - 2 x^2 + 16x - 29 = - 2 (x - 4)^2 + 3\);   \( S (4|3); \ W_f = ]- \infty , 3]\) (zwei verschiedene einfache Nullstellen)

Scheitelpunktform - Abbildung 1

 
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