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Lexikon Mathe

Satz von Moivre-Laplace

Der Satz bzw. die Regel von Moivre-Laplace ist ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes für binomialverteilte Zufallsvariablen, demzufolge man die Binomialverteilung bei „langen“ Bernoulli-Ketten durch die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung annähern kann. Genauer gesagt gilt

\(\displaystyle B_{n; \ p} (k) \approx \frac 1 \sigma \cdot \phi \left( \frac{k-\mu}{\sigma} \right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)^2}\)

mit dem Erwartungswert \(\mu = n\cdot p\) und der Varianz \(\sigma^2 = n\cdot p \cdot (1-p) = npq\).

Die Näherung ist dann sinnvoll, wenn \(npq \ge 9\) ist. Alternativ wird auch das \(np \ge 4\) verwendet.

Beispiel:

Eine faire Münze wird 100-mal geworfen, wie wahrscheinlich fällt 60-mal Kopf (n = 100, p = 0,5 und k = 60)? \(\sigma ^2 = n \cdot p \cdot q = 25 > 9\) (Näherung ist erlaubt)
Mit \(\mu = n \cdot p = 50\) und \(\displaystyle \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{25} = 5\) erhalten wir
\(\displaystyle B (100; 0,5; 60) \approx \frac{1}{5} \cdot \phi \left( \frac{60-50}{5} \right) = \frac{1}{5 \cdot \sqrt{2\pi }}\cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{60-50}{5}\right)^2}\approx 0,010 80\)

Der Tabellenwert der Binomialvertielung lautet B100; 0,5(60) = 0,01084.

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