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Lexikon Mathe

Potenzgesetze

Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechengesetze:

  • Vorrangregel: Potenzen werden zuerst berechnet („Potenz vor Punkt vor Strich“):
    Beispiel:
    \(4+5^3\cdot6=4+125\cdot6=4+750=754\)

Achtung: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind:
Beispiele:
\(5\cdot2^6+4\cdot2^6=9\cdot2^6=9\cdot64=576\)
Der Ausdruck \(6\cdot5^2+2\cdot3^4\) kann nicht zusammengefasst werden!
 

  • Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und die Exponenten beibehält:
    an · bn = (a · b)n  für alle  \(a, b \in \mathbb R, \ n \in \mathbb N\)
    Beispiele:
    \(3^5\cdot=(3\cdot2)^5=6^5=7776\)
    \((-4)^3\cdot5^3=(-4\cdot5)^3=(-20)^3=-8000\)

  • Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und die Exponenten beibehält:
    \(\displaystyle a^n\!:b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac a b \right)^n\)  für alle  
    \(a \in \mathbb R, \ b \in \mathbb R\!\setminus\{0\}, \ n \in \mathbb N\)
    Beispiele:
    \(16^3:5^3=(16:5)^3=3,2^3=32,768\)
    \(\dfrac{24^4}{32^4} = \left ( \frac{24}{32} \right )^4=\left ( \frac{3}{4} \right )^4=\dfrac{81}{256}\)

Achtung: Wenn man Potenzen mit rationalen bzw. reellen Exponenten betrachtet, wie dies bei den Potenzfunktionen gemacht wird, kann man die beiden letzten Gesetze in einem zusammenfassen:
ax · bx = (a · b)x für alle \(a, b, x \in \mathbb R\)

  • Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält:
    am · an = am + n  für alle  \(a \in \mathbb R, \ m, n \in \mathbb N\)
    Beispiele:
    \(5^2\cdot5^4=5^{2+4}=5^6=15.625\)
    \((-3)^5\cdot(-3)^3=(-3)^{5+3}=(-3)^8=6561\)

  • Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält:
    \(\displaystyle a^m\!:a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)  für alle  \(a \in \mathbb R, \ b \in \mathbb R\!\setminus\{0\}, \ n \in \mathbb N\)
    Beispiele:
    \(\dfrac{5^6}{5^8} = 5^{6-8} = 5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25}\)
    \(\dfrac{0,2^7}{0,2^4} = 0,2^{7-4}=0,2^3=0,008\)

Anmerkung: Für m = n erhält man hieraus a0 = 1 für alle \(a \in \mathbb R\).

  • Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält:
    \(\displaystyle \left(a^m\right)^n = a^{m\, \cdot\, n}\)  für alle  
    \(a \in \mathbb R, \ b \in \mathbb R\!\setminus\{0\}, \ n \in \mathbb N\)
    Beispiel:
    \((5^2)^3=5^{2\cdot3}=5^6=15625\)

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