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Lexikon Mathe

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

Eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten hat die Form

\(f\!: x \mapsto f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} \ \ (m \in \mathbb Z, \ n \in \mathbb N)\)

 

Die Eigenschaften dieser Funktionen hängen wesentlich davon ab, ob der Exponent insgesamt positiv oder negativ ist:

  \(\dfrac m n >0\) \(\dfrac m n < 0\)
(maximale) Definitionsmenge \(D_f = \mathbb R_0^+\) \(D_f = \mathbb R^+\)
Wertemenge \(W_f = \mathbb R_0^+\) \(W_f = \mathbb R^+\)
Funktionsgraph Parabel \(\dfrac m n\)-ter Ordnung Hyperbel \(\dfrac m n\)-ter Ordnung
Nullstelle x = 0 (im Urpsrung) keine
Monotonie in ganz Df streng monoton steigend in ganz Df streng monoton fallend
Extremstelle x = 0 (globales Minimum) keine
gemeinsame Punkte (0|0) und (1|1) (1|1)
Asymptoten keine x- Achse und y-Achse

Generell sind die Funktionen \(\displaystyle f(x) = x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}\) und \(\displaystyle g(x) = x^{n/m} = \sqrt[m]{x^n}\) jeweils Umkehrfunktionen voneinander. Ihre Funktionsgraphen gehen durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden (Gerade y = x) ineinander über.

Beispiele:
Die Graphen verlaufen jeweils in den nicht schraffierten Bereichen.

  • \(y = x^{\frac{5}{2}}\) und \(y = x^{\frac{2}{5}}\)
  • \(y = x^6\) und \(y = x^{\frac{1}{6}}\)

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten - Abbildung 1
  • \(y = x^{-{\frac{2}{3}}}\) und \(y = x^{-{\frac{3}{2}}}\)
  • \(y = x^{-4}\) und \(y = x^{-\frac{1}{4}}\)

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten - Abbildung 2

 

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