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Lexikon Mathe

Polynomgleichungen

Eine Gleichung, die sich als ein Polynom, also in der Form

\(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\)

mit \(a_0,\, a_1\,a_2,\, a_3,\,\ldots,\,a_{n-1}\in \mathbb R\) und \(a_n \in \mathbb R\!\setminus\!\{0\}\) schreiben lässt, nennt man eine Polynomgleichung. Wie bei Polynomen und Polynomfunktionen nennt man die Zahl n den Grad der Gleichung.

Das Lösen einer Polynomgleichung ist gleichbedeutend mit dem Bestimmen der Nullstelle(n) einer Polynomfunktion. Jede Polynomgleichung n-ten Grades hat höchstens n Lösungen.

Für Polynomgleichungen kleinen Grades gibt es spezielle Bezeichnungen; außerdem gibt es für diese – im Gegensatz zum allgemeinen Fall Lösungsformeln.

  • n = 1: Gleichungen ersten Grades nennt man meist lineare Gleichungen.
    Die Gleichung  a1x + a0 = 0  hat genau eine Lösung, nämlich \(x = -\dfrac {a_0}{a_1}\) (a1 ist definitionsgemäß ungleich 0).

  • n = 2: Quadratische Gleichungen löst man bei \(a_2 \ne 1\) mit der Mitternachtsformel, bei a2 = 1 mit der pq-Formel. Es gibt keine, genau eine oder genau zwei Lösungen.

  • n = 3: Für kubische Gleichungen gibt es nur „halbes“ Lösungsverfahren: Man kennt oder rät eine Lösung x0, teilt die Gleichung durch (xx0) und löst die sich ergebende quadratische Gleichung, um die anderen beiden Lösungen zu erhalten.

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