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Lexikon Mathe

Polynome

Einen Term der Form

\(P_n (x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ldots + a_{1}x + a_0\)

mit \(n \in \mathbb N\),  \(a_0, \ a_1, \ldots, \ a_{n-1} \in \mathbb R\)  und  \(a_n \in \mathbb R\!\setminus\! \{0\}\) nennt man ein Polynom vom Grad n (n-ten Grades).

Eine Funktion, deren Funktionsterm ein Polynom ist, heißt Polynomfunktion oder ganzrationale Funktion. Eine gebrochenrationale Funktion hat als Funktionsterm einen Bruch mit je einem Polynom in Zähler und Nenner.

Setzt man ein Polynom gleich null, erhält man eine Polynomgleichung der Form Pn(x) = 0.

Man kann Polynome miteinander multiplizieren und nach einem (möglicherweise etwas aufwendigen) Ausmultiplizieren wieder ein Polynom erhalten:

\(P_3(x) = x^3 - 1; \ \ Q_2(x) = x^2+1 + 2\)

\((P · Q)(x) = (x^3 - 1)(x^2+x + 2)= x^5+x^4+2x^3-x^2-x-2\)

Es ist sogar möglich, Polynom zu dividieren (Polynomdivision).

 

Allgemein kann man jedes Polynom faktorisieren, also in ein Produkt aus Faktoren der Form (x – xi)k überführen, wenn xi eine k-fache Nullstelle der zugehörigen Polynomfunktion ist und es insgesamt j verschiedene Nullstellen gibt.

\((x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdot \ldots \cdot (x - x_j)^{k_j}\)

Dies kann allerdings im Einzelfall sehr kompliziert sein. Umgekehrt lässt sich dieses Produkt aber natürlich sofort aufschreiben, wenn man die Nullstellen bereits kennt.

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