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Lexikon Mathe

Pascalsches Dreieck

Das Pascalsche Dreieck (nach Blaise Pascal, 1623–1663) ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) (k = 0, 1, …, n) einer binomischen Formel (a + b)n der Ordnung n.

\(\large\begin{matrix}n=0\\\\1\\\\2\\\\3\\\\4\\\\5\\\\\small\text{usw.}\end{matrix}\)            \(\large\begin{matrix} 1\\\\ 1\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;2\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;3\;\;\;\;3\;\;\;\;1\\\\ 1\;\;\;\;4\;\;\;\;6\;\;\;\;4\;\;\;\;1\\\\\ 1\;\;\;\;5\;\;\;\;10\;\;\;\;10\;\;\;\;5\;\;\;\;1\\\\\small\text{usw.}\end{matrix}\)  

Es gibt eine einfache Konstruktionsregel: Ganz links und ganz rechts steht jeweils eine 1,  dazwischen ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen, die eine Zeile weiter oben über ihr stehen.

Beispiel:

n = 4:   1;   4 = 1 + 3;   6 = 3 + 3;   4 = 3 + 1;   1

Die Summe der Zahlen in der n-ten Zeile ist \(\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}=2^n\)  (z. B. 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24).

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