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Lexikon Mathe

Partielle Integration

Die partielle Integration ist als Integrationsverfahren die „Umkehrung“ der Produktregel beim Ableiten. Sie beruht auf folgender Überlegung:

Sind die Funktionen u und \(v\) im Intervall [a; bdifferenzierbar, so ist auch die zusammengesetzte Funktion \(f = u \cdot v\) in [ab] differenzierbar, und es gilt nach der Produktregel für alle \(x \in [a; b]\):

\(\displaystyle f' (x) = [u (x) \cdot v (x)]' = u' (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v' (x)\).

\(\Rightarrow \ \ \displaystyle \int_a^b\! f'(x)\, \text dx = \int_a^b\! u' (x) \cdot v (x)\,\text dx + \int_a^b\! u (x) \cdot v' (x)\,\text dx\)

\(\Rightarrow \ \ \displaystyle \Big[f(x)\Big]^b_a = \Big[u (x) \cdot v (x)\Big]^b_a = \int_a^b\! u' (x) \cdot v (x)\,\text dx + \int_a^b\! u (x) \cdot v' (x)\, \text dx\)

Daraus folgt der Satz über die partielle Integration:

Wenn man den Integranden in einem Integral als Produkt einer im Intervall stetig differenzierbaren Funktion u und einer im Intervall stetigen Funktion \(v'\) schreiben kann, dann gilt

\(\displaystyle \int_a^b\! u (x) \cdot v' (x)\, \text dx = \Big[u (x) \cdot v (x)\Big]^b_a -\int_a^b\! u' (x) \cdot v (x)\,\text dx\)

Dabei sind \(v\) eine Stammfunktion von \(v'\) und \(u'\) die Ableitung von u.

 

Beispiele:

  • \(\displaystyle \int_0^\pi \! x \cdot \sin x\,\text dx = \Big[x \cdot (- \cos x)\Big]^\pi _0 - \int_0^\pi \! 1 \cdot (-\cos x)\, \text dx = \Big[\pi \cdot 1 - 0 \cdot (-1)\Big] - \Big[\sin x\Big]^\pi _0 = \pi - (0 - 0) = \pi\)
    \(u (x) = x, \ v' (x) = \sin x; \ u' (x) = 1, \ v(x) =-\cos x\)
     
  • \(\displaystyle \int_0^1 \! x \cdot \text e^x\, \text dx = \Big[x \cdot \text e^x \Big]^1_0 -\int_0^1 \! 1 \cdot \text e^x\, \text dx = (\text e - 0) - \Big[ \text e^x \Big]^1_0 = 1\)
    \(u (x) = x, \ v' (x) = \text e^x; \ u' (x) = 1, \ v(x) = \text e^x\)
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