Vor allem bei der Kurvendiskussion, aber auch in anderen mathematischen Bereichen unterscheidet man zwischen notwendigen und hinreichenden Bedingungen (oder Kriterien) für einen Sachverhalt oder das Eintreten eines Ereignisses. Letztlich handelt es sich um ein rein logisches Problem.
Eine notwendige Bedingung A muss eintreten, damit das Ereignis B geschieht, es ist aber nicht gesagt, dass das dann auch tatsächlich so ist. Beispielsweise muss ein Schüler in die Schule gehen, um dem Unterricht zu folgen. Er könnte aber auch hingehen und aus dem Fenster sehen …
Formal kann man sagen:
„ohne A kein B“ bzw. „wenn nicht A, dann auch nicht B“ oder auch „wenn B, dann A“, d. h. „\(B \Rightarrow A\)“.
Eine hinreichende Bedingung führt zwangsläufig dazu, dass das Ereignis eintritt, aber es könnte auch auf anderem Wege dazu kommen. Beispielsweise wird man nass, wenn man sich in den Regen stellt, man könnte aber auch Duschen, schwimmen gehen usw.
Formal kann man das so ausdrücken:
„wenn A, dann B“ bzw. „\(A \Rightarrow B\)“.
Wenn ein notwendiges und hinreichendes Kriterium erfüllt ist, tritt das daraus folgende Ereignis immer ein und sonst nie. Wenn z. B. das Datum der 24. Dezember ist, dann ist Heiligabend, wenn nicht, dann nicht.
Formal schreibt sich dies:
„wenn A, dann und nur dann B“ bzw. „\(A \Leftrightarrow B\)“.
Das klassische Beispiel bei der Kurvendiskussion ist die Untersuchung von Extremstellen. Damit x0 eine Extremstelle ist, muss notwendigerweise die erste Ableitung dort null sein. Hinreichend für das Vorliegen einer Extremstelle ist eine von null veschiedene zweite Ableitung. Notwendig und hinreichend ist es, wenn die untersuchte Funktion stetig differenzierbar ist und bei x0 die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt.