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Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (2)


Aufgabe 1

Ein Glücksrad hat 53 gleich große Felder, die mit den Zahlen von 1 bis 53 beschriftet sind. Das Glücksrad wird einmal gedreht und die Zahl des Ergebnisfeldes notiert.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse mithilfe des Gegenereignisses.

  1. Ereignis \(A\): Die Zahl ist größer als 1.
  2. Ereignis \(B\): Die Zahl enthält nicht die Ziffer 8.
  3. Ereignis \(C\): Die Zahl ist nicht durch 11 teilbar.

Lösung

a)

Gegenereignis \(\overline{A}\): Die Zahl ist 1.
Eine zugehörige Zahl: 1        \(P(\overline{A})=\frac1{53}\)  
\(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac1{53} = \frac{52}{53} ≈ 98,1\ \%\)

b)

Gegenereignis \(\overline{B}\): Die Zahl enthält die Ziffer 8.
5 zugehörige Zahlen: 8, 18, 28, 38, 48        \(P(\overline{B})=\frac5{53}\) 
\(P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - \frac5{53} = \frac{48}{53} ≈ 90,6\ \%\)

c)

Gegenereignis \(\overline C\): Die Zahl ist durch 11 teilbar.
4 zugehörige Zahlen: 11, 22, 33, 44        \(P(\overline C) =\frac4{53}\)
\(P(C) = 1 - P(\overline C) = 1 - \frac4{53} =\frac{49}{53} ≈ 92,5\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 2

Alina überlegt, wie die Chancen für ihre Basketball-Lieblingsmannschaft in den nächsten Spielen stehen. Sie nimmt an, dass das Team jedes Spiel zu 60 % gewinnt und zu 40 % verliert.

  1. Zeichne für die nächsten beiden Spiele ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten. Trage auch die Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade ein.
  2. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von den nächsten beiden Spielen
    genau ein Spiel gewinnt,
    mindestens ein Spiel gewinnt.

Lösung

a)

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (2) - Abbildung 1

b)

Nach der Pfadadditionsregel gilt:

\(P(\mbox{genau ein Sieg)} = P(\mbox{erst Sieg, dann Niederlage}) + P(\mbox{erst Niederlage, dann Sieg}) = 0,24+0,24=0,48=48\ \%\)

c)

\(P(\mbox{mindestens ein Sieg}) = 1-P(\mbox{kein Sieg}) = 1-0,16=0,84=84\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  8

Aufgabe 3

Aus einem Gefäß mit 3 grünen und 6 blauen Kugeln werden nacheinander zufällig 2 Kugeln gezogen.

 - Abbildung 1
 
  1. Ergänze in den Kästchen die fehlenden Wahrscheinlichkeiten des Baumdiagramms.
  2. Entscheide, ob die 1. Kugel nach dem Ziehen in das Gefäß zurückgelegt wird oder nicht. Begründe.
  3. Begründe: Die Wahrscheinlichkeit, 2 blaue Kugeln zu ziehen, ist beim Ziehen mit Zurücklegen größer als beim Ziehen ohne Zurücklegen.

Lösung

a)

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (2) - Abbildung 2

b)

Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten (für eine grüne bzw. blaue Kugel) in jeder Stufe gleich. Da sich bei diesem Experiment in der 2. Stufe die Wahrscheinlichkeiten (für eine grüne bzw. blaue Kugel) ändern, wissen wir, dass die gezogene Kugel nach dem Ziehen nicht zurückgelegt wird.

c)

Beim Ziehen mit Zurücklegen gilt:
Der Anteil der blauen Kugeln bleibt in jedem Zug gleich groß.

Beim Ziehen ohne Zurücklegen gilt:
Wenn das 1. Ziehen Erfolg versprechend ist (d. h., wenn eine blaue Kugel gezogen wird), dann ist der Anteil der blauen Kugeln beim 2. Ziehen geringer. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit für 2 blaue Kugeln beim Ziehen ohne Zurücklegen kleiner als beim Ziehen mit Zurücklegen.

\(P(\mbox{2 blaue Kugeln beim Ziehen ohne Zurücklegen}) =\frac5{12} \approx 41,6\ \%\) (siehe Lösung der Aufgabe a)

\(P(\mbox{2 blaue Kugeln beim Ziehen mit Zurücklegen}) =\frac69\cdot\frac69=\frac49 ≈ 44,4\ \%\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 4

Oskar hört seine Lieblingssendung im Radio. Sie wird an 70 % der Tage vom Moderator Arslan gestaltet, an den anderen Tagen von der Moderatorin Bea. In der Sendung wird an jedem Tag immer nur eine Musikrichtung gespielt. Arslan spielt nur an 20 % seiner Tage Hip-Hop, Bea dagegen in 40 % ihrer Sendungen.

  1. Berechne mit einem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit, dass in der morgigen Sendung Hip-Hop gespielt wird.
  2. Lies aus dem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit ab, dass die morgige Sendung von Arslan ist und er Hip-Hop spielt.

Lösung

a)

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (2) - Abbildung 3

Nach der Pfadadditionsregel gilt:

\(P(\mbox{Hip-Hop}) = P(\mbox{Arslan, Hip-Hop}) + P(\mbox{Bea, Hip-Hop}) = 0,14+0,12=0,26=26\ \%\)

b)

\(P(\mbox{Arslan, Hip-Hop}) = 0,14\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  9 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Betrachte Aufgabe 4.

  1. Zeichne ein neues Baumdiagramm zur Aufgabe 4, bei dem du in der 1. Stufe nach der Musikrichtung unterscheidest und in der 2. Stufe nach dem Moderator. Trage die in Aufgabe 4 berechnete Wahrscheinlichkeit dafür, dass Hip-Hop gespielt wird, an dem passenden Ast ein und die Wahrscheinlichkeit, dass morgen Arslan moderiert und Hip-Hop spielt, am Ende des zugehörigen Pfads.
  2. Berechne mithilfe der Pfadmultiplikationsregel die Wahrscheinlichkeit, dass Arslan die Sendung moderiert, wenn gerade Hip-Hop läuft.

Lösung

a)

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (2) - Abbildung 4

b)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit \(x\) am Ast der 2. Stufe, der von Hip-Hop zum Moderator Arslan führt. Nach der Pfadmultiplikationsregel gilt:

\(0,26 \cdot x = 0,14 \quad\quad\quad\quad | : 0,26\\ x =\frac{0,14}{0,26} =\frac7{13} ≈ 53,8\ \%\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Hip-Hop-Sendung von Arslan moderiert wird, ist ungefähr 53,8 %.

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  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  4
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