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Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (1)


Aufgabe 1

Beschreibe das Gegenereignis des gegebenen Ereignisses in Worten.

  1. Beim Würfeln ist die Augenzahl höchstens 4.
  2. Aus einer Urne mit gelben, roten und blauen Kugeln wird eine rote oder blaue Kugel gezogen.
  3. Eine zufällig ausgewählte natürliche Zahl ist gerade.
  4. Beim Würfeln mit 2 Würfeln ist die Augensumme größer als 2.

Lösung

  1. Beim Würfeln ist die Augenzahl mindestens 5.
  2. Aus einer Urne mit gelben, roten und blauen Kugeln wird eine gelbe Kugel gezogen.
  3. Eine zufällig ausgewählte natürliche Zahl ist ungerade.
  4. Beim Würfeln mit 2 Würfeln ist die Augensumme 2.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 2

Eine Münze wird so lange geworfen, bis „Zahl“ fällt, aber höchstens dreimal.

  1. Zeichne ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten. Trage auch die Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade ein.
  2. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Münze dreimal geworfen wird?
  3. Berechne, was wahrscheinlicher ist: dass „Zahl“ öfter als „Kopf“ fällt oder dass „Kopf“ öfter als „Zahl“ fällt.

Lösung

a)

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 1

 

b)

Nach der Pfadadditionsregel gilt:

\(P(\mbox{dreimaliges Werfen}) = P(\mbox{Kopf}-\mbox{Kopf}-\mbox{Zahl}) + P(\mbox{Kopf}-\mbox{Kopf}-\mbox{Kopf}) = \frac18+\frac18=\frac14\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze dreimal geworfen wird, beträgt \(\frac14\).

c)

\(P(\mbox{Zahl öfter als Kopf}) = P(\mbox{Zahl}) = \frac12\)

Nach der Pfadadditionsregel gilt:

\(P(\mbox{Kopf öfter als Zahl}) = P(\mbox{Kopf}-\mbox{Kopf}-\mbox{Zahl}) + P(\mbox{Kopf}-\mbox{Kopf}-\mbox{Kopf}) =\frac18+\frac18=\frac14\)

Das Ereignis, dass „Zahl“ häufiger als „Kopf“ geworfen wird, ist wahrscheinlicher als das Ereignis, dass „Kopf“ häufiger als „Zahl“ fällt.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  9

Aufgabe 3

Aus einer Tüte mit 3 grünen, 2 roten und einem blauen Gummibärchen werden nacheinander 2 Gummibärchen zufällig ohne Zurücklegen gezogen.

  1. Zeichne ein Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten. Trage auch die Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade ein.
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Gummibärchen gleichfarbig sind.
  3. Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass zuerst ein blaues Gummibärchen gezogen wird.
  4. Julia meint: „Die Wahrscheinlichkeit, zuerst ein blaues Gummibärchen zu ziehen, ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit, beim 2. Ziehen ein blaues Gummibärchen zu erhalten.“
    Prüfe, indem du die 2. Wahrscheinlichkeit berechnest.

Lösung

a)

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 2

b)

Nach der Pfadadditionsregel gilt:

\(P(\mbox{gleichfarbig}) = P(\mbox{erst grün, dann grün}) + P(\mbox{erst rot, dann rot}) = \frac15+\frac{1}{15}=\frac{4}{15}\approx 26,7\)

c)

Die Wahrscheinlichkeit steht in der 1. Stufe am Ast zu „blau“.

\(P(\mbox{zuerst blau}) = \frac16\approx 16,7\)

d)

Julia hat recht. Nach der Pfadadditionsregel gilt:

\(P(\mbox{blau beim 2. Ziehen}) = P(\mbox{erst grün, dann blau}) + P(\mbox{erst rot, dann blau}) =\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{5}{30}=\frac16\approx 16,7\)

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  14 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 4

Helena möchte eine defekte Energiesparlampe ersetzen. Sie weiß, dass 4 % aller im Handel verkauften Lampen defekt sind. Deswegen kauft sie sicherheitshalber 2 neue Lampen.
Berechne geschickt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden gekauften Lampen funktioniert.

Lösung

Gesucht ist das Ereignis \(E\): Mindestens eine Lampe funktioniert.      
Gegenereignis \(\overline{E}\): Beide Lampen sind defekt.
Es gilt: \(P(E)=1-P(\overline{E})\), wir können \(P(E)\) also bestimmen, indem wir zunächst \(P(\overline{E})\) berechnen.
Im Baumdiagramm besteht der Pfad zu \(\overline{E}\) aus 2 Ästen, die jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(0,04\) zu einer defekten Lampe führen.
Nach der Pfadmultiplikationsregel gilt:

\(P(\overline{E}) = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016\)

\(P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 – 0,0016 = 0,9984 = 99,84\ \%\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der gekauften Lampen funktioniert, ist 99,84 %.

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  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Lukas verteilt 3 blaue und 3 rote Kugeln auf 2 Urnen. Die Anzahl der Kugeln in beiden Urnen muss nicht gleich sein. Emma wählt dann, ohne die Aufteilung zu kennen, eine der beiden Urnen aus und zieht mit verbundenen Augen daraus eine der Kugeln.

Emma meint: „Egal wie du die Kugeln auf die Urnen verteilst, die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Kugel blau ist, ist immer 50 %. Denn die Hälfte der Kugeln ist ja blau.“

Lukas entgegnet: „Ich kann die Kugeln so auf die beiden Urnen verteilen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass du eine blaue Kugel ziehst, größer als 50 % ist.“

Wer von beiden hat recht? Begründe deine Meinung.

Lösung

Lukas hat recht. Er kann das erreichen, indem er in eine der Urnen nur eine oder 2 blaue Kugel legt und in die andere Urne die restlichen Kugeln.

Zu 50 % wählt Emma die erstgenannte Urne aus, dann zieht sie sicher eine blaue Kugel (denn es gibt hier nur blaue Kugeln). Wenn sie die andere Urne auswählt, hat sie immer noch eine (nicht so geringe) Chance, eine blaue Kugel zu ziehen. Somit ist die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass sie eine blaue Kugel zieht, größer als 50 %.

Beispiel: Lukas legt eine blaue Kugel in Urne 1; und 2 blaue und 3 rote Kugeln in Urne 2.

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 3

Nach der Pfadadditionsregel gilt dann:

\(P(\mbox{blau}) = P(\mbox{Urne 1, darin blau}) + P(\mbox{Urne 2, darin blau}) = \frac12+\frac15=\frac{7}{10}=0,7\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3
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