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Zufall und Wahrscheinlichkeit (1)


Aufgabe 1

Ein Würfel wird geworfen. 

  1. Bestimme die Ergebnismenge Ω.
  2. Fasse jeweils alle Ergebnisse (Würfe), die für das Eintreffen des Ereignisses günstig sind, zu einer Menge zusammen:
     – Ereignis A: „Augenzahl ist gerade.“
     – Ereignis B: „Augenzahl ist 2 oder 3.“
     – Ereignis C: „Augenzahl ist kleiner als 4.“
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse A, B und C.
  4. Formuliere die Gegenereignisse zu den Ereignissen B und C. Notiere jeweils die Ergebnisse, die für das Eintreffen dieser Gegenereignisse günstig sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Gegenereignisse zu B und C. 

Lösung

  1. \(Ω = \{1;\; 2;\; 3;\; 4;\; 5;\; 6\}\)
  2. \(A = \{2;\; 4;\; 6\};\; B = \{2;\; 3\};\; C = \{1;\; 2; \;3\} \)
  3. \(P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}; \; P(B)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}; \; P(C)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
  4. \(\overline{B}\) : „Augenzahl ist weder 2 noch 3“\(\overline{B}= \{1; 4; 5; 6\};P(\overline{B})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\) oder \(P(\overline{B})=1-P(B)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
    \(\overline{C}=\) „Augenzahl ist größer oder gleich 4“; \(\overline{C}= \{4; 5; 6\};P(\overline{C})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) oder \(P(\overline{C})=1-P(C)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

 

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  12 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Es werden gleichzeitig zwei Würfel geworfen.

  1. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Notiere die Ergebnisse des Würfelns mit Würfel \(W_{1}\) und \(W_{2}\) in der Form (\(w_{1};\;w_{2}\)), also z. B. (2; 5).
  2. Fasse jeweils alle Ergebnisse (Würfe), die für das Eintreffen des genannten Ereignisses günstig sind, zu einer Menge zusammen:
     – Ereignis A: „Augensumme ist 3.“
     – Ereignis B: „Augensumme ist größer als 9.“
     – Ereignis C: „Augensumme ist kleiner als 2.
  3. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der drei Ereignisse aus b).
  4. Berechne möglichst geschickt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses D: „Augensumme ist kleiner als 10.“

Lösung

  1. Es gibt 36 mögliche Ergebnisse.
  2. A = {(1; 2); (2; 1)}; B = {(4; 6); (5; 5); (6; 4); (5; 6); (6; 5); (6; 6)}; C = { } (unmögliches Ereignis) 
  3. \(P(A)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\)\(P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)\(P(C)=0\)
  4. \(D=\overline{B}\Rightarrow P(D)=P(\overline{B})=1-P(B)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Bei einem Brettspiel gibt es verschiedene Zugmöglichkeiten. Man muss zunächst das abgebildete Glücksrad drehen und anschließend einen Würfel werfen. 

Zufall und Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 1

  1. Zeichne das zugehörige Baumdiagramm. 
  2. Wie viele verschiedene Ergebnisse kann es geben?
  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis A?
  4. In der Spielanleitung steht folgende Regel: „Bei grün und einer Augenzahl größer als 2 darfst du eine Karte ziehen“. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt dieses Ereignis (D) ein?
  5. Betrachte das Ereignis E: „Bei einer 6 darf man noch einmal würfeln“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nicht noch einmal würfeln darf? 

Lösung

a.

 Zufall und Wahrscheinlichkeit (1) - Abbildung 2

b. Es gibt 3 · 6 = 18 mögliche Ergebnisse. Berechnete Wahrscheinlichkeiten für c) bis e): 

c.  \(P(A)=\frac{1}{18}\)

d. D = {(grün; 3); (grün; 4); (grün; 5); (grün; 6)}; \(P(D)=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}\)

e.​ E = {(grün; 6); (rot; 6); (blau; 6)}. \(P(E)=\frac{3}{18}=\frac{1}{6}; \;P(\overline{E})=1-P(E)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

 
  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  17 Minuten
  • Punkte:  5
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