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Wurzeln


Aufgabe 1

Kreuze an, welche Eigenschaft die jeweilige Zahl besitzt. Mehrere Kreuze sind manchmal auch möglich!

  natürlich ganz rational irrational reell
\(\frac{5}{4}\)          
\(\sqrt{144}\)          
\(5,\overline{3}\)          
\(36\)          
\(\sqrt{11}\)          
\(\sqrt{-4}\)          
\(\sqrt{0,25}\)          


Schritt 1: Vorüberlegung

Prüfe zuerst, ob du die Zahlen vereinfachen kannst. Beispielsweise gilt: \(\sqrt{144}=12\).

Schritt 2: Tabelle ausfüllen

  natürlich ganz rational irrational reell
\(\frac{5}{4}\)     x   x
\(\sqrt{144}\) x x x   x
\(5,\overline{3}\)     x   x
\(36\) x x x   x
\(\sqrt{11}\)       x x
\(\sqrt{-4}\)          
\(\sqrt{0,25}\)     x   x
  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Vereinfache die folgenden Terme.

  1. \(\)\(3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\)
  2. \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}\)
  3. \(\sqrt{x^{3}\cdot y}\cdot\sqrt{x\cdot y}\)
  4. \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)
  5. \(\frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n}}\)
  6. \((\sqrt{2}+\sqrt{8})^2\)

Aufgabe 2a.

\(3\sqrt{5} + 2\sqrt{5}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst Wurzeln mit gleichem Radikanden zusammenfassen.

Schritt 2: Vereinfachung

\(3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}\)

Aufgabe 2b.

\(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \(a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n\) für rationale Zahlen anwenden, da \(\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\)gilt.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}= \sqrt{3 \cdot 27}=\sqrt{81}=9\)

Aufgabe 2c.

\(\sqrt{x^{3}\cdot y}\cdot\sqrt{x\cdot y}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Potenzgesetze \(a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n\) und \(a^n \cdot a^m=a^{n\ +\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{x^{3} y}\cdot\sqrt{x y}=\sqrt{x^{3}\cdot y\cdot x\cdot y}=\sqrt{x^{4} y^2}=x^2y\)

Aufgabe 2d.

\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst das Potenzgesetz \(a^n : b^n=(a : b)^n\)  anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2\)

Aufgabe 2e.

\(\frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Potenzgesetze \(a^n : b^n=(a : b)^n\) und \(a^n : a^m=a^{n\ -\ m}\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\frac{\sqrt{n^3}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{n^3}{n}}=\sqrt{n^2}=n\)

Aufgabe 2f.

\((\sqrt{2}+\sqrt{8})^2\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die 1. binomische Formel \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) anwenden und dann den Term mit den Potenzgesetzen \(a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n\) und \((a^n)^m=a^{n\ \cdot\ m}\) vereinfachen.

Schritt 2: Vereinfachung

\((\sqrt{2}+\sqrt{8})^2=(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}\sqrt{8}+(\sqrt{8})^2=2+2\sqrt{16}+8=2+8+8=18\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 3

Ziehe partiell die Wurzel.

  1. \(\sqrt{252}\)
  2. \(\sqrt{72x^2y^3}\)
  3. \(\sqrt{\frac{8}{9}}\)

Aufgabe 3a.

\(\sqrt{252}\)

Schritt 1:Vorüberlegung

Du musst den Radikanten in seine Primfaktoren zerlegen und dann das Potenzgesetz \((a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{252}=\sqrt{4 \cdot 9 \cdot 7}=2 \cdot3 \cdot \sqrt{7}=6\sqrt{7}\)

Aufgabe 3b.

\(\sqrt{72x^2y^3}\)

Schritt 1:Vorüberlegung

Du musst den Radikanten in seine Primfaktoren zerlegen und dann das Potenzgesetz \((a\cdot b)^n=a^n \cdot b^n\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{72x^2y^3}=\sqrt{2 \cdot 36 \cdot x^2y^2 \cdot y}=6xy \cdot \sqrt{2y}\)

Aufgabe 3c.

\(\sqrt{\frac{8}{9}}\)

Schritt 1:Vorüberlegung

Du musst den Radikanten in seine Primfaktoren zerlegen und dann das Potenzgesetz \((a : b)^n=a^n : b^n\) anwenden.

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{\frac{8}{9}}=\sqrt{\frac{2\ \cdot\ 4}{9}}=\frac{2}{3} \cdot \sqrt{2}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 4

Vereinfache so weit wie möglich.

  1. \(\sqrt{\frac{6}{a}}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{54}}\)
  2. \(\sqrt{\frac{4c^2}{b}}:\sqrt{\frac{64}{b^3}}\)

Aufgabe 4a.

\(\sqrt{\frac{6}{a}}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{54}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Potenzgesetze für rationale Exponenten anwenden. Starte mit der Multiplikation der Wurzeln: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\).

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{\frac{6}{a}}\cdot \sqrt{\frac{a^2}{54}}\) \(=\sqrt{\frac{6}{a}\cdot \frac{a^2}{54}}\) \(=\sqrt{\frac{6}{54}\cdot \frac{a^2}{a}}\) \(=\sqrt{\frac{a}{9}}\) \(= \frac{1}{3}\sqrt{a}\)

Aufgabe 4b.

\(\sqrt{\frac{4c^2}{b}}:\sqrt{\frac{64}{b^3}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Du musst die Potenzgesetze für rationale Exponenten anwenden. Starte mit der Division der Wurzeln: \(a^n : b^n = (a : b)^n\).

Schritt 2: Vereinfachung

\(\sqrt{\frac{4c^2}{b}}:\sqrt{\frac{64}{b^3}}\) \(=\sqrt{\frac{4c^2}{b}: \frac{64}{b^3}}\) \(=\sqrt{\frac{4c^2}{b}\cdot \frac{b^3}{64}}\) \(=\sqrt{\frac{4c^2b^3}{64b}}\) \(=\sqrt{\frac{c^2b^2}{16}}=\frac{1}{4}cb\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  6

Aufgabe 5

Mache den Nenner rational und vereinfache, wenn es möglich ist.

  1. \(\frac{\sqrt{3}\ -\ 5}{2\sqrt{3}}\)
  2. \(\frac{2}{\sqrt{3}\ -\ \sqrt{5}}\)

Aufgabe 5a.

\(\frac{\sqrt{3}\ -\ 5}{2\sqrt{3}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Nenner wird rational, wenn du keine Wurzel mehr im Nenner hast. Das kannst du durch das Quadrieren des Wurzelterms erreichen. Erweitere hierzu den Bruch mit \(\sqrt{3}\).

Schritt 2: Umformung

\(\frac{\sqrt{3}\ -\ 5}{2\sqrt{3}}\) \(=\frac{\sqrt{3}\ -\ 5}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) \(=\frac{(\sqrt{3}\ -\ 5)\ \cdot\ \sqrt{3}}{2\sqrt{3}\ \cdot\ \sqrt{3}}\) \(=\frac{3\ -\ 5\ \cdot\ \sqrt{3}}{6}\)

Aufgabe 5b.

\(\frac{2}{\sqrt{3}\ -\ \sqrt{5}}\)

Schritt 1: Vorüberlegung

Der Nenner wird rational, wenn du keine Wurzel mehr im Nenner hast. Das kannst du durch das Quadrieren des Wurzelterms erreichen. Da in diesem Fall im Nenner eine Differenz von Wurzeln vorliegt, musst du die 3. binomische Formel \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) benutzen. Erweitere hierzu den Bruch mit \((\sqrt{3}+\sqrt{5})\).

Schritt 2: Umformung

\(\frac{2}{\sqrt{3}\ -\ \sqrt{5}}\)\(=\frac{2\ \cdot\ (\sqrt{3}\ +\ \sqrt{5})}{(\sqrt{3}\ -\ \sqrt{5})(\sqrt{3}\ +\ \sqrt{5})} \) \(=\frac{2\ \cdot\ (\sqrt{3}\ +\ \sqrt{5})}{3\ -\ 5} \)\(=\frac{2\ \cdot\ (\sqrt{3}\ +\ \sqrt{5})}{-2} \) \(=-\sqrt{3}-\sqrt{5}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 6

Löse die Wurzelgleichung und gib den Definitionsbereich an.

\(\sqrt{x^2 +7}-1= x\)

Schritt 1: Definitionsbereich bestimmen

Der Radikand \(x^2+7\) muss größer oder gleich null sein, da der Wurzelterm ansonsten nicht reell ist. Hier kommt die Variable im Quadrat vor und wird zu einer positiven Zahl addiert. Der Radikant \(x^2+7\) ist somit für alle reellen Zahlen größer als null.

\(D =\left\{x\in R\right\}\)

Schritt 2: Lösungsmenge bestimmen

\(\sqrt{x^2 +7}-1= x\)     | + 1

      \(\sqrt{x^2 +7}= x+1\)    | (  )2

          \(x^2 +7= (x+1)^2\)    | – 7

                \(x^2 = x^2+2x+1-7\)    | – x2

                 \(0=2x-6\)     | – 2x

            \(-2x=-6\)     | : (-2)

                  \(x=3\)  \(\Rightarrow L=\left\{3\right\}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 7

Ein arabischer Mathematiker hat in einem Lehrbuch der Algebra folgende Gleichung geschrieben:  \(\sqrt{8}+ \sqrt{18}= \sqrt{50}\).

Weise nach, dass diese Gleichung richtig ist.

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst die Gültigkeit der Gleichung durch partielles Wurzelziehen zeigen.

Schritt 2: Nachweis

Linke Seite: \(\sqrt{8}+ \sqrt{18}= \sqrt{2 \cdot 4}+ \sqrt{2 \cdot 9}=2\sqrt{2}+3 \sqrt{2}=5\sqrt{2}\)

Rechte Seite: \( \sqrt{50}=\sqrt{2 \cdot25}=5\sqrt{2}\)

Damit ist gezeigt, dass die Gleichung \(\sqrt{8}+ \sqrt{18}= \sqrt{50}\) richtig ist.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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