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Wurzel, Potenz, Logarithmus (2)


Aufgabe 1

Ergänze die folgende Tabelle.

     Gleichung als Potenz  Gleichung als Logarithmus
 a)  \(2^x=8\)  \(x=\log_28\)
 b)  \(2^x=32\)  
 c)   \(4=\log_381\)
 d)  \(4^2=16\)  
 e)  \(x=\log_4128\)

Lösung

     Gleichung als Potenz  Gleichung als Logarithmus
 a)  \(2^x=8\)  \(x=\log_28\)
 b)  \(2^x=32\)  \(x=\log_232\)
 c)  \(3^4=81\)  \(4=\log_381\)
 d)  \(4^2=16\)  \(2=\log_416\)
 e)  \(4^x=128\)  \(x=\log_4128\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  2

Aufgabe 2

Schreibe als Logarithmus und bestimme anschließend den Exponenten.

Beispiel: \(2^x=32\) folglich ist \(x=\log_232=\log_2(2^5) = 5\), denn \(2^5=32\)

  1. \(3^x=9\)
  2. \(10^x=100000\)
  3. \(2^x=128\)
  4. \(6^x=216\)
  5. \(5^x=125\)
  6. \(4^x=256\)
  7. \(3^x=81\)
  8. \(7^x=49\)
  9. \(8^x=512\)
  10. \(2^x=1024\)

Lösung

  1. \(x=2\)
  2. \(x=5\)
  3. \(x=7\)
  4. \(x=3\)
  5. \(x=3\)
  6. \(x=4\)
  7. \(x=4\)
  8. \(x=2\)
  9. \(x=3\)
  10. \(x=10\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Berechne folgende Logarithmen.

  1. \(\log_422\) (1. Schritt: \(\log_422 = \frac{\lg22}{\lg4}=...\) )
  2. \(\log_51\)
  3. \(\log_{17}177\)
  4. \(\log_3312\)
  5. \(\log_90,214\)
  6. \(\log_6178\)
  7. \(\log_38\)
  8. \(\log_411\)

Lösung

  1. 2,230
  2. 0
  3. 1,827
  4. 5,228
  5. -0,702
  6. 2,892
  7. 1,893
  8. 1,730

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 4

Vereinfache die Terme mithilfe der Potenzgesetze.

  1. \(\left(2^{\frac{1}{2}}-3^{\frac{1}{2}}\right)^2\)
  2. \(\left(a+b\right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(a^2 + 2ab +b^2\right)^{\frac{2}{3}}\)
  3. \(\left(x-5y\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(x+5y\right)^{\frac{1}{2}} \)
  4. \(\left(2a^2\right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left(4ab^3\right)^{\frac{1}{3}} \cdot \left(2ab\right)^{\frac{1}{4}}\)

Lösung

  1. 2. binomische Formel: \(2-2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} +3 = 2-2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} + 3=5-2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}\)
  2. Mithilfe der 1. binomischen Formel zusammenfassen: \(\left[\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\right]^\frac{2}{3} = \left[\left(a+b\right)^3\right]^\frac{2}{3} = \left(a+b\right)^2\)
  3. 3. binomische Formel: \(\left(x^2-25y^2\right)^\frac{1}{2}\)
  4. \(\left(16a^4b^4\right)^\frac{1}{4} = 16^\frac{1}{4} \cdot \left(a^4\right)^\frac{1}{4} \cdot\left(b^4\right)^\frac{1}{4} =2ab\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  4

Aufgabe 5

Forme in die Potenzschreibweise bzw. Wurzelschreibweise um.

  1. \(\sqrt{17}\)
  2. \(x^\frac{1}{3}+y^\frac{4}{5}\)
  3. \(\left(x+5y\right)^\frac{2}{7}\)
  4. \(\left(x+5y\right)^{-\frac{2}{7}}\)
  5. \(\sqrt[4]{\left(3-d\right)^5}\)
  6. \(\sqrt[3n]{b^{4m}}\)

Lösung

  1. \(17^\frac{1}{2}\)
  2. \(\sqrt[3]{x} + \sqrt[5]{y^4} \)
  3. \(\sqrt[7]{\left(x+5y\right)^2}\)
  4. \(\frac{1}{\sqrt[7]{\left(x+5y\right)^2}}\)
  5. \(\left(3-d\right)^\frac{5}{4}\)
  6. \(\left(b^{\frac{1}{3n}}\right)^{4m} = b^{\frac{4m}{3n}}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 6

Gib die Definitionsmenge für die Wurzelterme an. Vereinfache die Wurzelterme, wenn dies möglich ist.

  1. \(\sqrt{6x-2}\)
  2. \(\left(\sqrt[3]{x-1}\right)^9\)
  3. \(\sqrt{x^2-1}\)
  4. \(\sqrt{\frac{3}{8}x + \frac{5}{4}}\) 

Lösung

  1. \(D = \left\{x \ | \ x \geq \frac{1}{3}\right\}\)
  2. \(D = \left\{x \ | \ x \geq 1\right\}\)
  3. \(D = \mathbb{R}\)
  4. \(D = \left\{x \ | \ x \geq -\frac{10}{3}\right\}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  4
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