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Wahrscheinlichkeitsrechnung (1)


Aufgabe 1

Mit einem Laplace-Würfel wird einmal gewürfelt. Betrachte folgende Ereignisse:

A = {Augenzahl ist 3}

B = {Augenzahl ist gerade}

C = {Augenzahl ist größer als 1}

D = {Augenzahl ist nicht gerade und keine Primzahl}

E = {Augenzahl teilt die Zahl 60 ohne Rest}

  1. Berechne P(\(A\)), P(\(B\)), P(\(C\)), P(\(D\)), P(\(E\)).
  2. Berechne P(\(A \cap B\)), P(\(B \cap C\)), P(\(B \cup C\)).
  3. Berechne P(\(\overline{A} \cap \overline {B} \cap \overline{C}\)).

Aufgabe 1a.

Berechne P(\(A\)), P(\(B\)), P(\(C\)), P(\(D\)), P(\(E\)).

Schritt 1: Vorüberlegung

Da es sich um ein Laplace-Experiment handelt, kannst du die Wahrscheinlichkeiten mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit \(P(E)= \frac{\text{Anzahl der günstigen Elementarereignisse}}{\text{Anzahl der möglichen Elementarereignisse}}\) berechnen.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten bestimmen

\(P(\text{A})=P(\text{{3}})=\frac{1}{6}\)

\(P(B)=P(\text{{2; 4; 6}})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

\(P(C)=P(\text{{2; 3; 4; 5; 6}})=\frac{5}{6}\)

\(P(D)=P(\text{{1}})=\frac{1}{6}\)

\(P(E)=P(\text{{1; 2; 3; 4; 5; 6}})=\frac{6}{6}=1\)

Aufgabe 1b.

Berechne P(\(A \cap B\)), P(\(B \cap C\)), P(\(B \cup C\)).

Schritt 1: Vorüberlegung

Das Ereignis \(A \cap B\) bedeutet „A und B“ und tritt genau dann ein, wenn sowohl A als auch B eintritt. Das Ereignis \(A \cup B\) bedeutet „A oder B“ und tritt genau dann ein, wenn A oder B (oder beide) eintreten.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten bestimmen

\(P(A \cap B) =P(\text{{}})=\frac {0}{6}=0\)

\(P(B \cap C) =P(\text{{2; 4; 6}})=\frac {3}{6}=\frac{1}{2}\)

\(P(B \cup C) =P(\text{{2; 3; 4; 5; 6}})=\frac {5}{6}\)

Aufgabe 1c.

Berechne P(\(\overline{A} \cap \overline {B} \cap \overline{C}\)).

Schritt 1: Vorüberlegung

\(\overline{A} \)\(\overline{B} \)\(\overline{C} \) sind die Gegenereignisse der Ereignisse \(A \), \(B\), \(C\).

Schritt 2: Wahrscheinlichkeit bestimmen

\(P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})=P(\text{{1}}) = \frac{1}{6}\)

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  7

Aufgabe 2

Ein Passwort besteht aus der vierstelligen Eingabe Großbuchstabe–Ziffer–Großbuchstabe–Ziffer.

  1. Wie viele unterschiedliche Passwörter gibt es?
  2. Wie kannst du die Anzahl der Passwörter erhöhen, wenn es bei einer vierstelligen Eingabe bleiben soll?

Aufgabe 2a.

Wie viel unterschiedliche Passwörter gibt es?

Schritt 1: Vorüberlegung

Es gibt 26 Großbuchstaben und 10 Ziffern. Es handelt sich um ein Urnenexperiment mit Berücksichtigung der Reihenfolge und mit Zurücklegen. Die Anzahl der Kombinationen berechnet sich mit \(n^k\).

Schritt 2: Anzahl der Passwörter bestimmen

Kombinationen: \(26 \cdot10 \cdot26 \cdot 10=26^2 \cdot10^2=67.600\)

Schritt 3: Antwortsatz

Es gibt 67.600 unterschiedliche Passwörter.

Aufgabe 2b.

Wie kannst du die Anzahl der Passwörter erhöhen, wenn es bei einer vierstelligen Eingabe bleiben soll?

Schritt 1: Antwortsatz

Man muss die Möglichkeiten pro Eingabe erhöhen. Zum Beispiel könnte man auch Kleinbuchstaben verwenden. Auch zusätzliche Sonderzeichen wären eine Möglichkeit.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 3

13 Schüler der Klasse 9b sind Jungen. 25 der Schüler sind Mitglied in einer AG, 11 davon sind Jungen. 3 Mädchen sind nicht in einer AG.

  1. Stelle eine Vierfeldertafel auf.
  2. Wie viele Schüler sind insgesamt in der Klasse?
  3. Wie viele Schüler sind nicht in einer AG?

Aufgabe 3a.

Stelle eine Vierfeldertafel auf.

Schritt 1: Vorüberlegung

Wähle geschickte Abkürzungen, um die Vierfeldertafel zu beschriften. Stelle die Vierfeldertafel nach dem folgenden Schema auf und übertrage die Angaben aus der Aufgabenstellung.

 

    \(A\)

         \(\overline{A}\)

Summe

\(B\)

\(A \cap B\)

\(\overline{A} \cap B\)

 

\(\overline{B}\)

\(A \cap \overline B\)

\(\overline{A} \cap \overline B\)

 

Summe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Du musst anschließend die freien Felder so ausfüllen, dass in der Randspalte bzw. Randzeile die Summen der Zahlenwerte aus der Vierfeldertafel stehen.

Schritt 2: Vierfeldertafel aufstellen

\(A\):     \(AG\) (Mitglied einer AG)

\(\overline{A}\):     \(\overline{AG}\) (nicht Mitglied einer AG)

\(B\):     \(J\) (Junge)

\(\overline B\):     \(M\) (Mädchen)

 

    \(AG\)

         \(\overline{AG}\)

Summe

J

\(11\)

 

\(13\)

M

 

\(3\)

 

Summe

\(25\)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Schritt 3: Vierfeldertafel füllen

\(J \cap \overline{AG}=13-(J \cap AG) =13-11=2\)

\(M \cap {AG}=25-(J \cap AG) =25-11=14\)

 

\(AG\)

\(\overline{AG}\)

Summe

J

\(11\)

2

\(13\)

M

14

\(3\)

17

Summe

\(25\)

5

30

 

 

 

 

 

 

 

Aufgabe 3b.

Wie viele Schüler sind insgesamt in der Klasse?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst die Anzahl aus der Vierfeldertafel ablesen.

Schritt 2: Anzahl bestimmen

In der Spalte „Summe“ und der Zeile „Summe“ steht die Anzahl der Schüler in der Klasse: 30 Schülerinnen und Schüler.

Schritt 3: Antwortsatz

In der Klasse sind 30 Schülerinnen und Schüler.

Aufgabe 3c.

Wie viele Schüler sind nicht in einer AG?

Schritt 1: Vorüberlegung

Du kannst die Anzahl aus der Vierfeldertafel ablesen.

Schritt 2: Anzahl bestimmen

In der Spalte „nicht Mitglied einer AG“ und Zeile „Summe“ steht die Anzahl der Schüler in der Klasse: 5 Schülerinnen und Schüler.

Schritt 3: Antwortsatz

5 Schülerinnen und Schüler sind nicht in einer AG.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Eine Urne enthält eine rote Kugel, 4 weiße Kugeln und 5 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander 2 Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne gezogen.

  1. Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment.
  2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße Kugel und eine schwarze Kugel gezogen wird.
  3. Wie wahrscheinlich ist es, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben?
  4. Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten \(P(rot;\overline{rot})\) und \(P(\overline{rot};rot)\).

Aufgabe 4a.

Zeichne ein vollständig beschriftetes Baumdiagramm für dieses Zufallsexperiment.

Schritt 1: Vorüberlegung

Es wird zweimal aus der Urne mit 10 Kugeln gezogen. Es handelt sich also um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Beim ersten Zug gibt es 3 mögliche Ausgänge, nämlich rot (r), weiß (w) und schwarz (s). Da es sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen handelt, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für den zweiten Zug. Insgesamt gibt es dann nur noch 9 Kugeln und von der Farbe, die beim ersten Ziehen entnommen wurde, ebenfalls eine Kugel weniger. Außerdem musst du beachten, dass es nur eine rote Kugel gibt. Wird sie beim ersten Ziehen gezogen, bleiben nur noch weiße und schwarze Kugeln in der Urne.

Schritt 2: Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeitsrechnung (1) - Abbildung 1

Aufgabe 4b.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine weiße Kugel und eine schwarze Kugel gezogen wird.

Schritt 1: Vorüberlegung

Es gibt 2 Möglichkeiten, eine weiße und eine schwarze Kugel zu ziehen. Zuerst eine weiße Kugel, dann eine schwarze Kugel; oder zuerst eine schwarze Kugel, dann eine weiße Kugel. Mithilfe der 1. Pfadregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade (weiß; schwarz) und (schwarz; weiß), indem du die Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizierst. Nach der 2. Pfadregel addierst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade (weiß; schwarz) und (schwarz; weiß) zur Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße Kugel und eine schwarze Kugel gezogen wird.

Schritt 2: 1. Pfadregel anwenden

\(P(\text{weiß; schwarz})=\frac{4}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\)

\(P(\text{schwarz; weiß})=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\)

Schritt 3: 2. Pfadregel anwenden

\(P(\text{eine weiße und eine schwarze Kugel})=\frac{2}{9}+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}\)

Das entspricht ca. 44,44 %.

Schritt 4: Antwortsatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine weiße und eine schwarze Kugel gezogen wird, beträgt ungefähr 44,44 %.

Aufgabe 4c.

Wie wahrscheinlich ist es, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben?

Schritt 1: Vorüberlegung

Es gibt nur 2 Möglichkeiten, Kugeln mit gleicher Farbe zu ziehen: (weiß; weiß) und (schwarz; schwarz). Mithilfe der 1. Pfadregel berechnest du wieder die Wahrscheinlichkeiten der Pfade (weiß; weiß) und (schwarz; schwarz), indem du die Pfadwahrscheinlichkeiten multiplizierst. Nach der 2. Pfadregel addierst du die Wahrscheinlichkeiten der Pfade (weiß; weiß) und (schwarz; schwarz) zur Wahrscheinlichkeit, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche Farbe haben.

Schritt 2: 1. Pfadregel anwenden

\(P(\text{weiß; weiß})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\)

\(P(\text{schwarz; schwarz})=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}\)

Schritt 3: 2. Pfadregel anwenden

\(P(\text{Kugeln mit gleicher Farbe})=\frac{2}{15}+\frac{2}{9}=\frac{16}{45}\)

Das entspricht ca. 35,56 %.

Schritt 4: Antwortsatz

Die Wahrscheinlichkeit, dass 2 Kugeln mit der gleichen Farbe gezogen werden, beträgt ungefähr 35,56 %.

Aufgabe 4d.

Vergleiche die Wahrscheinlichkeiten \(P(rot;\overline{rot})\) und \(P(\overline{rot};rot)\).

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Wahrscheinlichkeit \(P(rot;\overline{rot})\) setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten \(P(\text {rot; weiß})\) und \(P(\text {rot; schwarz})\) zusammen. Die Wahrscheinlichkeit \(P(\overline{rot};rot)\) setzt sich aus den Wahrscheinlichkeiten \(P(\text {weiß; rot})\) und \(P(\text {schwarz; rot})\) zusammen. Mithilfe der 1. und der 2. Pfadregel kannst die die Wahrscheinlichkeiten bestimmen.

Schritt 2: \(P(rot;\overline{rot})\) bestimmen

\(P(\text{rot; weiß})=\frac{1}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{90}\)

\(P(\text{rot; schwarz})=\frac{1}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{5}{90}\)

\(P(rot;\overline{rot})=\frac{4}{90}+\frac{5}{90}=\frac{1}{10}\)

Schritt 3: \(P(\overline{rot};rot)\) bestimmen

\(P(\text{weiß; rot})=\frac{4}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{4}{90}\)

\(P(\text{schwarz; rot})=\frac{5}{10}\cdot\frac{1}{9}=\frac{5}{90}\)

\(P(\overline{rot};rot)=\frac{4}{90}+\frac{5}{90}=\frac{1}{10}\)

Schritt 4: Antwortsatz

Die Wahrscheinlichkeiten \(P(rot;\overline{rot})\) und \(P(\overline{rot};rot)\) sind gleich groß.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 5

Für das Schulfest hat sich die Klasse 9b ein Glücksspiel ausgedacht, um die Klassenkasse aufzubessern. Aus 2 identischen Stapeln mit jeweils 5 Karten (Ass, König, Dame, Bube, 10) darf der Spieler jeweils eine Karte ziehen. Hat der Spieler 2 gleiche Karten, so hat er gewonnen. Hat der Spieler unterschiedliche Karten, so hat er verloren. Die Kombination (Ass; Ass) ist ein Hauptgewinn. Alle anderen Paare sind Kleingewinne. Ein Spiel kostet 1 Euro. Die Klasse hat die Gewinne mit Geld aus der Klassenkasse bezahlt. Ein Hauptgewinn hat den Wert 8 Euro, ein Kleingewinn hat den Wert 2 Euro. Es wurden 7 Hauptgewinne und 20 Kleingewinne gekauft. Die Klasse will den Glücksspielstand schließen, wenn es keinen Hauptgewinn bzw. keine Kleingewinne mehr gibt.

  1. Wie viele Spiele wird es voraussichtlich geben?
  2. Mit welchem Gewinn kann die Klasse 9b pro Spiel rechnen?

Aufgabe 5a.

Wie viele Spiele wird es voraussichtlich geben?

Schritt 1: Vorüberlegung

Bei dem Gewinnspiel der Klasse 9b handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Du musst also die Anzahl der möglichen Elementarereignisse und die Anzahl der günstigen Elementarereignisse bestimmen. Anschließend kannst du die Wahrscheinlichkeiten von P(Hauptgewinn), P(Kleingewinn) und P(kein Gewinn) bestimmen.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten bestimmen

Es gibt 2 Kartenstapel mit je 5 unterschiedlichen Karten \(\Longrightarrow 5\cdot5=25\) mögliche Ausgänge, alle gleich wahrscheinlich.

Anzahl der möglichen Elementarereignisse: 25.

Die Kombination (Ass; Ass) gibt es nur einmal \(\Rightarrow P(Ass;Ass)=P(Hauptgewinn)=\frac{1}{25}=0{,}04 \).

Die Kombination (Paar) gibt es nur viermal \(\Rightarrow P(Paar)=P(Kleingewinn)=\frac{4}{25}=0{,}16 \).

Alle anderen Kombinationen machen dann den Rest aus: \(25 - 1 - 4 = 20 \) \(\Rightarrow P(\text{kein Gewinn})=\frac{20}{25}=0{,}8\).

Schritt 3: Anzahl der Spiele bestimmen

Die Klasse 9b muss voraussichtlich bei einem von 25 Spielen einen Hauptgewinn auszahlen. Bei 7 vorhandenen Hauptgewinnen sollten dann \(7 \cdot25=175\) Spiele möglich sein. Bei den Kleingewinnen muss die Klasse voraussichtlich bei 4 von 25 Spielen auszahlen. Bei 20 Kleingewinnen macht das \(\frac{20}{4} \cdot25=125\) Spiele.

Schritt 4: Antwortsatz

Die Klasse 9b wird aus mathematischer Sicht voraussichtlich 125 Spiele machen können.

Aufgabe 5b.

Mit welchem Gewinn kann die Klasse 9b pro Spiel rechnen?

Schritt 1: Vorüberlegung

Die Klasse 9b macht nur Gewinn, wenn die durchschnittliche Auszahlung pro Spielrunde geringer ist als der Spieleinsatz. Die durchschnittliche Auszahlung errechnet sich aus den Auszahlungsbeträgen für jeden möglichen Ausgang einer Runde unter Berücksichtigung der jeweils zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Du musst also den Erwartungswert dieses Spiels pro Spielrunde berechnen.

Schritt 2: Erwartungswert bestimmen

Auszahlungsbetrag 0 € 2 € 8 €
Wahrscheinlichkeit 0,80 0,16  0,04

Erwartungswert: \({\begin{align} \text{E}= 0\, €\cdot 0{,}8 + 2\,€\cdot 0{,}16 + 8\,€\cdot 0{,}04 = 0{,}32\,€ + 0{,}32\,€ = 0{,}62\,€ \end{align}}\)

Pro Spiel nimmt die Klasse 1 Euro ein und muss im Schnitt 0,62 Euro auszahlen. Das macht 0,38 Euro pro Spiel Gewinn.

Schritt 3: Antwortsatz

Die Klasse 9b macht pro Spiel 0,38 Euro Gewinn.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Ca. 8 % aller Schüler und Schülerinnen einer Schule schreiben beim Erstellen von Referaten einfach aus dem Internet ab (Plagiat). Bei der Kontrolle durch den Lehrer wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 97 % ein abgeschriebenes Referat erkannt und aussortiert. Ein nicht abgeschriebenes Referat wird leider in 2 % der Fälle als Plagiat aussortiert.

  1. Erstelle ein geeignetes Baumdiagramm, das das oben beschriebene Zufallsexperiment darstellt.
  2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Referat ein Plagiat, wenn es aussortiert wurde?

Aufgabe 6a.

Erstelle ein geeignetes Baumdiagramm, das das oben beschriebene Zufallsexperiment darstellt.

Schritt 1: Vorüberlegung

Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Zuerst wird ein Referat ausgewählt. Das kann ein Plagiat oder eine Eigenleistung sein. Anschließend wird das Referat vom Lehrer als Plagiat aussortiert oder als Eigenleistung eingestuft. Die Angaben aus der Aufgabe kannst du übernehmen. Die fehlenden Angaben musst du mithilfe des Gegenereignisses ergänzen. Wähle vorab sinnvolle Abkürzungen.

Plagiat – PL, Eigenleistung EL, Lehrer bezeichnet das Referat als Plagiat LPL, Lehrer bezeichnet das Referat als Eigenleistung LEL.

Schritt 2: Baumdiagramm

Wahrscheinlichkeitsrechnung (1) - Abbildung 2

Aufgabe 6b.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Referat ein Plagiat, wenn es aussortiert wurde?

Schritt 1: Vorüberlegung

Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit „ein Referat ist ein Plagiat“ unter der Bedingung „das Referat wurde vom Lehrer aussortiert“, also \(P_{LPL}(PL).\) Die entsprechende Formel lautet:

\(\begin{align*}P_{LPL}(PL)=\frac{P(\text{PL}\cap\text{LPL})}{P(\text{LPL})}\end{align*}\)

Die Wahrscheinlichkeiten musst du dem Baumdiagramm entnehmen.

Schritt 2: Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit anwenden

\(P(\text{PL}\cap\text{LPL})=0,08 \cdot0,97=0{,}0776\)

\(\begin{align*} P(\text{LPL})&=P(\text{PL}\cap\text{LPL})+P(\text{EL}\cap\text{LPL})=0{,}0776+0{,}0184=0{,}096 \end{align*} \)

\(\begin{align*}P_{LPL}(PL)=\frac{0{,}0776}{0{,}096}=0{,}808\overline{3}\end{align*}\)

Das entspricht 80,83 %.

Schritt 3: Antwortsatz

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 80,83 % ist ein Referat ein Plagiat, wenn es aussortiert wurde.

  • Schwierigkeitsgrad:  2 3
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  6
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