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Wahrscheinlichkeit Variante (2)


Aufgabe 1

Du möchtest das folgende Gewinnspiel anbieten: Es wird beim einfachen Würfeln jeweils die doppelte Augenzahl in Euro als Gewinn ausgezahlt.

Welchen Einsatz musst du verlangen, damit du langfristig 50 Cent Gewinn machst?

Lösung

Erstelle zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung, z. B. in einer Tabelle:

Augenzahl 1 2 3 4 5 6
Gewinn in Euro 2 4 6 8 10 12
Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{6}\)

Berechne dann den Erwartungswert:

\(\frac{1}{6}\cdot(2+4+6+8+10+12)=7\)

Damit du langfristig einen Gewinn von 50 Cent erzielst, musst du 7,50 Euro Einsatz verlangen.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  5 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 2

Das abgebildete Glücksrad wird dreimal gedreht.

Wahrscheinlichkeit Variante (2) - Abbildung 1

a) Gib die Simulation als Baumdiagramm an.

b) Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

   (1) Es erscheint dreimal Blau.

   (2) Es erscheint genau einmal Rot.

   (3) Blau erscheint mindestens einmal.

   (4) Rot erscheint mindestens zweimal.

c) Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung und den Erwartungswert für das Ereignis „Blau“ an.

Lösung

a)

Wahrscheinlichkeit Variante (2) - Abbildung 2

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b

(1) \(P(E)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)

(2) \(P(E)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{64}\)

(3) \(P(E)=1-P(\overline{E})=1-\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}\)

(4) „Mindestens“ zweimal bedeutet: zweimal oder dreimal Rot.

\(P(E)=P(\text{2-mal}\ Rot)+P(\text{3-mal}\ Rot)=(\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4})+(\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4})=\frac{27}{64}+\frac{27}{64}=\frac{27}{32}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

c)

\(E=\text{Blau}\) 0 1 2 3
\(P(E)\) \(\frac{27}{64}\) \(\frac{27}{64}\) \(\frac{9}{64}\) \(\frac{1}{64}\)

Der Erwartungswert ist:

\(0\cdot\frac{27}{64}+1\cdot\frac{27}{64}+2\cdot\frac{9}{64}+3\cdot\frac{1}{64}=\frac{48}{64}=\frac{3}{4}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  15

Aufgabe 3

Ergänze die folgende Vierfeldertafel und zeichne ein Baumdiagramm dazu.

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(20\ \% \)   \(40\ \%\)
\(\overline{B}\)   \(20\ \%\)  
  \(60\ \%\)    

Lösung

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(20\ \% \) \(20\ \% \) \(40\ \%\)
\(\overline{B}\) \(40\ \%\) \(20\ \%\) \(60\ \%\)
  \(60\ \%\) \(40\ \%\) \(100\ \%\)

Möglichkeit 1

Wahrscheinlichkeit Variante (2) - Abbildung 3

Möglichkeit 2

Wahrscheinlichkeit Variante (2) - Abbildung 4

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 4

Erstelle aus dem Baumdiagramm eine Vierfeldertafel und ein zweites Baumdiagramm, das zur Vierfeldertafel passt.

Wahrscheinlichkeit Variante (2) - Abbildung 5

Lösung

  \(K\) \(\overline{K}\)  
\(L\) \(0,24\) \(0,12\) \(0,36\)
\(\overline{L}\) \(0,16\) \(0,48\) \(0,64\)
  \(0,4\) \(0,6\)  

Wahrscheinlichkeit Variante (2) - Abbildung 6

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 5

Eine Münze wird zweimal geworfen. Die folgenden Ereignisse sollen betrachtet werden:

A: Die erste Münze zeigt Zahl.

B: Die zweite Münze zeigt Zahl.

C: Beide Münzen zeigen Zahl.

D: Beide Münzen zeigen die gleiche Seite.

Untersuche jeweils mithilfe von Vierfeldertafeln auf Unabhängigkeit:

a) A und B

b) C und D

c) A und C

Lösung

a)

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(B\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\overline{B}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
  \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)  

A und B sind unabhängig, da gilt:

\(P(A\cap B)=\frac{1}{4} = P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{4}\)

b)

  \(C\) \(\overline{C}\)  
\(D \) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\overline{D}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)
  \(\frac{1}{4} \) \(\frac{3}{4}\)  

C und D sind abhängig, da gilt:

\(P(C\cap D)=\frac{1}{4} \neq P(C)\cdot P(D)=\frac{1}{8}\)

c)

  \(A\) \(\overline{A}\)  
\(C\) \(\frac{1}{4}\) \(0\) \(\frac{1}{4}\)
\(\overline{C}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{3}{4}\)
  \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{2}\)  

A und C sind abhängig, da gilt:

\(P(A\cap C)=\frac{1}{4} \neq P(A)\cdot P(C)=\frac{1}{8}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  15 Minuten
  • Punkte:  10
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