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Vektoren, Variante (2)


Aufgabe 1

Im Koordinatensystem ist ein Würfel ABCDEFGH mit A(3|1|0), B(3|4|0) und G(0|4|3) gegeben.

  1. Bestimme die Koordinaten aller Eckpunkte des Würfels.
  2. Bestimme die Spaltendarstellung der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{FG}\), \(\overrightarrow{BG}\).
  3. Stelle den Vektor \(\overrightarrow{AG}\) mithilfe der Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{BF}\) dar.
  4. Bestimme die Länge der Raumdiagonalen.

Vektoren, Variante (2) - Abbildung 1

Lösung

a) A(3|1|0), B(3|4|0), C(0|4|0), D(0|1|0), E(3|1|3), F(3|4|3), G(0|4|3), H(0|1|3)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

b) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}= \left(\begin{array}{c}3\\ 4 \\0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 1 \\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 3 \\0\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{f}= \left(\begin{array}{c}0\\ 4 \\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 4 \\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0 \\0\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{b}= \left(\begin{array}{c}0\\ 4 \\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\ 4 \\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0 \\3\end{array}\right)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

c) \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BF}\)

d) \(\overrightarrow{AG}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\3\end{array}\right)\Rightarrow |\overrightarrow{AG}| =\sqrt{27}\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  10 Minuten
  • Punkte:  10

Aufgabe 2

Zeige, dass die Punkte A(3|5|−1), B(−1|5|1), C(2|5|5) und D(6|5|3) das Parallelogramm ABCD bilden.

Lösung

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b} -\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-1\\5\\1\end{array}\right)- \left(\begin{array}{c}3\\ 5\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\2\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{c} -\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\5\end{array}\right)- \left(\begin{array}{c}6\\ 5\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\2\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d} -\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\3\end{array}\right)- \left(\begin{array}{c}3\\ 5\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\4\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c} -\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\5\end{array}\right)- \left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\4\end{array}\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 0\\2\end{array}\right)=\overrightarrow{DC}\) und \(\overrightarrow{AD}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\4\end{array}\right)=\overrightarrow{BC}\) 

Somit ist das Viereck ABCD tatsächlich ein Parallelogramm.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 3

Gegeben sind die Gerade \(g: \overrightarrow {X} = \left(\begin{array}{c}2\\1\\ -2\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\3\\ 7\end{array}\right)\) und der Punkt P(0|4|5). Zeichne die Gerade g in ein Koordinatensystem ein und prüfe rechnerisch und grafisch, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt.

Lösung

Vektoren, Variante (2) - Abbildung 2

\( \left(\begin{array}{c}0\\4\\ 5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}2\\1\\ -2\end{array}\right) + 1 \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\3\\ 7\end{array}\right)\)

Der Punkt P liegt auf der Geraden g.

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier und hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  1 2
  • Zeit:  8 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 4

Stelle die Geradengleichung der Geraden auf, die durch die Punkte A(0,5|3,6|−1,5) und B(3|2,1|3) verläuft.

Lösung

\(g: \overrightarrow{X} = \overrightarrow{a} + t \cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \left(\begin{array}{c}3 \\ 2,1 \\ 3 \end {array}\right) - \left(\begin{array}{c}0,5 \\ 3,6 \\ -1,5 \end {array}\right) = \left(\begin{array}{c}2,5 \\ -1,5 \\ 4,5 \end {array}\right)\)

Geradengleichung:

\(g: \overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c}0,5\\3,6 \\ -1,5\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}2,5\\-1,5\\ 4,5\end{array}\right)\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  3

Aufgabe 5

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g und h.

\(g:\overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c}-3\\4 \\ -6\end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c}10\\-4\\ 16\end{array}\right)\)

\(h:\overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c}0\\5 \\ 2\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-6\\9\\ 0\end{array}\right)\)

Lösung

Die Geraden schneiden sich im Punkt P(2|2|2).

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  2
  • Zeit:  7 Minuten
  • Punkte:  5

Aufgabe 6

Für welche Werte von a besitzt das Dreieck ABC bei dem Eckpunkt C einen rechten Winkel?

A(−2|4|0), B(−2|−2|0), C(0|0|a)

Lösung

\(\overrightarrow{CA}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 4 \\-a\end{array}\right)\) und \(\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -2 \\-a\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}-2\\ 4 \\-a\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ -2 \\-a\end{array}\right)=4-8+a²=0\)

\(a²=4 \Rightarrow a_1=2;\ a_2=-2\)

Du weißt nicht mehr, wie es geht? Dann schau hier.

  • Schwierigkeitsgrad:  3
  • Zeit:  6 Minuten
  • Punkte:  3
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